вправа 10.23 гдз 10 клас математика Істер 2018

10 клас ➠ математика ➠ Істер
 
Вправа 10.23


Спростіть вираз:
1) (cosβ+ctgβ)/(1+sinβ);
2) (sinx)/(1+cosx) + (1+cosx)/(sinx);
3) (cosα)/(1+sinα) - (cosα)/(1-sinα);
4) (1+cos(-x))/(sin(-x)) - ctg(-x);
5) (cos(-2α))/(1+sin(-2α)) + tg(-2α);
6) ((sin2(-x/3)-sin4(-x/3))/(cos2(-x/3)).

 

Умова:



Відповідь:

1) (cosβ+ctgβ)/(1+sinβ) = ((cosβ+(cosβ/sinβ)) / (1+sinβ) =
= (cosβ•sinβ+cosβ)/(sinβ) • 1/(1+sinβ) =
= ((cosβ(sinβ+1))/(sinβ) • 1/(1+sinβ) = cosβ/sinβ = ctgβ;
2) (sinx)/(1+cosx) + (1+cosx)/(sinx) = (sin2x+(1+cosx)2)/((1+cosx)sinx) =
= (sin2x+1+2cosx+cos2x)/((1+cosx)sinx) = (1+1+2cosx)/((1+cosx)sinx)) =
= (2+2cosx)/((1+cosx)sinx) = (2(1+cosx))/((1+cosx)sinx) = 2/sinx;
3) (cosα)/(1+sinα) - (cosα)/(1-sinα) = (cosα(1-sinα)-cosα(1+sinα))/((1+sinα)(1-sinα)) =
= (cosα(1-sinα-1-sinα))/(1-sin2α) = (-cosα • sinα)/(cos2α) = -sinα/cosα = -tgα;
4) (1+cos(-x))/(sin(-x)) - ctg(-x) = (1+cosα)/(-sinα) + cosx/sinx = (-1-cosx+cosx)/sinx = -1/sinx;
5) (cos(-2α))/(1+sin(-2α)) + tg(-2α) = (cos2α)/(1-sin2α) - sin2α/cos2α =
= ((cos22α-sin2α(1-sin2α))/(cos2α(1-sin2α)) = (cos22α-sin2α+sin22α)/(cos2α(1-sin2α)) =
= (1-sin2α)/(cos2α(1-sin2α)) = 1/cos2α;
6) ((sin2(-x/3)-sin4(-x/3))/(cos2(-x/3)) = (sin2x/3-sin4x/3)/(cos2x/3) = (sin2x/3(1-sin2x/3))/(cos2x/3) =
= (sin2x/3 • cos2x/3)/(cos2x/3) = sin2x/3.
Відповідь: 1) ctgβ; 2) 2/sinx; 3) -tgα; 4) -1/sinx; 5) 1/cos2α; 6) sin2x/3.