гдз 10 клас математика Істер 2018 вправа 18.13

 
Вправа 18.13


Умова:

Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції f(x) у точці x0:
1) f(x) = 3х2 - х; x0 = 1; 2) f(x) = 16/х + 5; x0 = -2.



Відповідь:

1) f(х) = 3х2 - х, х0 = 1
f'(х0) = lim (Δf(х0))/Δх
          Δx0
Δf(х0) = Δf(1) = f(х0 + Δх) - f(х0) = f(1 + Δх) - f(1) = 3 • (1 + Δх)2 - (1 + Δх) - (3 • 12 - 1) =
= 3(1 + 2Δх + Δх2) - 1 - Δх - 3 + 1 = 3 + 2Δх + Δх2 - Δх - 3 = Δх + Δх2
f'(x0) = f'(1) = lim (Δf(1))/Δх = lim (Δх+Δх2)/(Δх) =
                   Δx0                 Δx0
= lim (Δх(1+Δх))/(Δх) = lim(1 + Δх) = 1;
  Δx0                        Δx0

2) f(х) = 16/х + 5, х0 = -2
f'(х0) = lim (Δf(х0))/(Δх)
          Δx0
Δf(х0) = f(х0 + Δх) - f(х0)
Δf(-2) = f(-2 + Δх) - f(-2) = 16/(-2+Δх) + 5 - (16/-2 + 5) = 16/(Δх-2) + 5 + 16/2 - 5 =
= 16/(Δх-2) + 8 = (16+8(Δх-2))/(Δх-2) = (16+8Δх-16)/(Δх-2) = 8Δх/(Δх-2)
f'(-2) = lim (Δf(-2))/(Δх) = lim (8Δх)/(Δх-2)Δх) = lim 8/(Δх-2) = 8/-2 = -4.
         Δx0                   Δx0                          Δx0
Відповідь: 1) 1; 2) -4.