гдз 10 клас математика Істер 2018 вправа 21.19
10 клас ➠ математика ➠ Істер
Вправа 21.19
Умова:
Знайдіть проміжки зростання та проміжки спадання функції:
1) f(x) = (3x-5)/(2x+7);
2) g(x) = (3x+x2)/(4+x);
3) t(x) = √х/(х+1);
4) φ(х) = cosx + 1/2x.
Відповідь:
1) f(x) = (3x-5)/(2x+7), Д(f): 2х + 7 ≠ 0; х ≠ -3,5
f '(x) = ((3х-5)'(2х+7)-(2х+7)'(3х-5))/(2х+7)2 = (3(2х+7)-2(3х-5))/(2х+7)2 =
= (6х+21-6х+10)/(2х+7)2 = 31/(2х+7)2
f '(x) = 0: 31/(2х+7)2 = 0
розв'язків немає
малюнок дивись нижче
f(x) ↑ х є (-∞; -3,5) U (-3,5; +∞);
2) g(x) = (3x+x2)/(4+x), Д(g): х ≠ -4
g'(x) = ((3х+х2)'(4+х)-(4+х)'(3х+х2))/(4+х2) = ((3+2х)(4+х)-1•(3х+х2))/(4+х)2 =
= (12+3х+8х+2х2-3х-х2)/(4+х2) = (х2+8х+12)/(4+х)2
g '(x) = 0: (х2+8х+12)/(4+х)2 = 0
х2 + 8х + 12 = 0
x1 + x2 = -8 x1 = -6
{
x1 • x2 = 12 x2 = -2
малюнок нижче
g(x) ↑ х є (-∞; -6) U (-2; +∞)
g(x) ↓ х є (-6; -4) U (-4; -2);
3) t(x) = √х/(х+1),
х ≥ 0
Д(t): { x ≥ 0
x = -1
t '(x) = ((√х)'(х+1)-(х+1)'•√х)/(х+1)2 = (1/2√х(х+1)-√х)/(х+1)2 =
= (х+1-2√х•√х)/(2√х(х+1) = (х+1-2х)/(2√х(х+1)) = (1-х)/(2√х(х+1))
t '(x) = 0: (1-х)/(2√х(х+1)) = 0, х > 0
1 - x = 0
x = -1
малюнок нижче
t(x) ↑ х є (0; 1)
t(x) ↓ х є (1; +∞);
4) φ '(х) = cosx + 1/2x, Д(φ) = R
φ '(x) = -sinx + 1/2
φ '(x) = 0: -sinx + 1/2 = 0
sinx = 1/2
x = (-1)n arcsin1/2 + πn, n є Z
x = (-1)n π/6 + πn, n є Z - критичні точки
φ '(х) > 0: -sinx + 1/2 > 0
-sinx > -1/2
х є (5π/6 + 2πn; 13π/6 + 2πn), n є Z
малюнок нижче
φ '(х) > 0: sinx > 1/2
x є (π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn), n є Z
φ '(x) ↑ х є (5π/6 + 2πn; 13π/6 + 2πn), n є Z
φ '(х) ↓ х є (π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn), n є Z.
Умова:
Знайдіть проміжки зростання та проміжки спадання функції:
1) f(x) = (3x-5)/(2x+7);
2) g(x) = (3x+x2)/(4+x);
3) t(x) = √х/(х+1);
4) φ(х) = cosx + 1/2x.
Відповідь:
1) f(x) = (3x-5)/(2x+7), Д(f): 2х + 7 ≠ 0; х ≠ -3,5
f '(x) = ((3х-5)'(2х+7)-(2х+7)'(3х-5))/(2х+7)2 = (3(2х+7)-2(3х-5))/(2х+7)2 =
= (6х+21-6х+10)/(2х+7)2 = 31/(2х+7)2
f '(x) = 0: 31/(2х+7)2 = 0
розв'язків немає
малюнок дивись нижче
f(x) ↑ х є (-∞; -3,5) U (-3,5; +∞);
2) g(x) = (3x+x2)/(4+x), Д(g): х ≠ -4
g'(x) = ((3х+х2)'(4+х)-(4+х)'(3х+х2))/(4+х2) = ((3+2х)(4+х)-1•(3х+х2))/(4+х)2 =
= (12+3х+8х+2х2-3х-х2)/(4+х2) = (х2+8х+12)/(4+х)2
g '(x) = 0: (х2+8х+12)/(4+х)2 = 0
х2 + 8х + 12 = 0
x1 + x2 = -8 x1 = -6
{
x1 • x2 = 12 x2 = -2
малюнок нижче
g(x) ↑ х є (-∞; -6) U (-2; +∞)
g(x) ↓ х є (-6; -4) U (-4; -2);
3) t(x) = √х/(х+1),
х ≥ 0
Д(t): { x ≥ 0
x = -1
t '(x) = ((√х)'(х+1)-(х+1)'•√х)/(х+1)2 = (1/2√х(х+1)-√х)/(х+1)2 =
= (х+1-2√х•√х)/(2√х(х+1) = (х+1-2х)/(2√х(х+1)) = (1-х)/(2√х(х+1))
t '(x) = 0: (1-х)/(2√х(х+1)) = 0, х > 0
1 - x = 0
x = -1
малюнок нижче
t(x) ↑ х є (0; 1)
t(x) ↓ х є (1; +∞);
4) φ '(х) = cosx + 1/2x, Д(φ) = R
φ '(x) = -sinx + 1/2
φ '(x) = 0: -sinx + 1/2 = 0
sinx = 1/2
x = (-1)n arcsin1/2 + πn, n є Z
x = (-1)n π/6 + πn, n є Z - критичні точки
φ '(х) > 0: -sinx + 1/2 > 0
-sinx > -1/2
х є (5π/6 + 2πn; 13π/6 + 2πn), n є Z
малюнок нижче
φ '(х) > 0: sinx > 1/2
x є (π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn), n є Z
φ '(x) ↑ х є (5π/6 + 2πn; 13π/6 + 2πn), n є Z
φ '(х) ↓ х є (π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn), n є Z.