гдз 10 клас математика Істер 2018 вправа 22.10

Вправа 22.10


Умова:

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції:
1) у = 2х³ + 6х² - 18х; 2) у = 2 + 12х + 9х² - 10х³;
3) у = х³ - 3х;              4) у = х⁴ - 2х² + 3.


Відповідь:

1) у = 2х³ + 6х² - 18х, Д(у) = R
у ' = 6х² + 12х - 18
у ' = 0: 6х² + 12х - 18 = 0
           х² + 2х - 3 = 0
           х₁ + х₂ = -2    х₁ = -3
         {
           х₁ • х₂ = -3    х₂ = 1
малюнок дивись нижче
у_max = у(-3) = 2 • (-3)³ + 6 • (-3)² - 18 • (-3) = 54
y_min = у(1) = 2 • 1³ + 6 • 1² - 18 • 1 = -10;

2) у = 2 + 12х + 9х² - 10х³, Д(у) = R
у ' = 12 + 18х - 30х²
у ' = 0: 12 + 18х - 30х² = 0
            5х² - 3х - 2 = 0
Д = в² - 4ас = 9 - 4 • 5 • (-2) = 49
х = (3±7)/10
х₁ = (3+7)/10 = 1
х₂ = (3-7)/10 = -4/10 = -2/5
малюнок нижче
у_min = у(-2/5) = 2 + 12 • (-2/5) + 9 • (-2/5)² - 10 • (-2/5)³ =
= 2 - 24/5 + 36/25 + 16/25 = -18/25
y_max = у(1) = 2 + 12 • 1 + 9 • 1² - 10 • 1³ = 13;

3) у = х³ - 3х, Д(у) = R
у ' = 3х² - 3
у ' = 0: 3х² - 3 = 0
           3(х² - 1) = 0
           3(х - 1)(х + 1) = 0
           х = 1; х = -1
малюнок нижче
у_max = у(-1) = (-1)³ - 3 • (-1) = -1 + 3 = 2
y_min = у(1) = 1³ - 3 • 1 = 1 - 3 = -2;

4) у = х⁴ - 2х² + 3, Д(у) = R
у ' = 4х³ - 4х
у ' = 0: 4х³ - 4х = 0
           4х(х² - 1) = 0
           4х(х - 1)(х + 1) = 0
           х = 0; х = 1; х = -1
малюнок нижче
у_min = у(-1) = (-1)⁴ - 2 • (-1)² + 3 = 2
y_max = у(0) = 0⁴ - 2 • 0² + 3 = 3
y_min = у(1) = 1⁴ - 2 • 1² + 3 = 2.