гдз 10 клас математика Істер 2018 вправа 22.14

Вправа 22.14


Умова:

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції:
1) φ(х) = х²(х + 2)²;
2) g(х) = 1/(х²+6х+8);
3) ψ(х) = х²/(9-х²);
4) t(x) = (х+1)/(х²-7).


Відповідь:

1) φ(х) = х²(х + 2)², Д(φ) = R
φ '(х) = 2х(х + 2)² + 2(х + 2) • х² = 2х(х² + 4х + 4) + 2х³ + 4х² =
= 2х³ + 8х² + 8х + 2х³ + 4х² = 4х³ + 12х² + 8х
φ '(х) = 0: 4х³ + 12х² + 8х = 0
                х³ + 3х² + 2х = 0
                х(х² + 3х + 2) = 0
                х = 0; х² + 3х + 2 = 0
                х₁ + х₂ = -3, х₁ = -2
              {
                х₁ • х₂ = 2, х₂ = -1
малюнок дивись нижче
φ_min = φ(-2) = (-2)²(-2 + 2)² = 0
φ_max = φ(-1) = (-1)²(-1 + 2) = 1
φ_min = φ(0) = 0²(0 + 2)² = 0;

2) g(х) = 1/(х²+6х+8), Д(g): х² + 6х + 8 ≠ 0
х ≠ -4; х ≠ -2
g '(х) = -(2х+6)/(х²+6х+8)²
g '(х) = 0: -(2х+6)/(х²+6х+8)² = 0
               2х + 6 = 0
               х = -3
малюнок нижче
g_max = g(-3) = 1/((-3)²+6•(-3)+8) = -1;

3) ψ(х) = х²/(9-х²), Д(ψ): х ≠ ±3
ψ '(х) = (2х(9-х²)+2х•х²)/(9-х²)² = (18х-2х³+2х³)/(9-х²)² = 18х/(9-х²)²
ψ '(х) = 0: 18х/(9-х²)² = 0, х ≠ ±3
                18х = 0
                 х = 0
малюнок нижче
ψ_min = ψ(0) = 0²/(9-0²) = 0;

4) t(x) = (х+1)/(х²-7), Д(t): х ≠ ±√7
t '(х) = (1•(х²-7)-2х(х+1))/(х²-7)² = (х²-7-2х²-2х)/(х²-7)² = (-х²-2х-7)/(х²-7)²
t '(х) = 0: (-х²-2х-7)/(х²-7)² = 0, х ≠ ±√7
               -х² - 2х - 7 = 0
               х² + 2х + 7 = 0
               Д = 4 - 28 = -24 < 0
               коренів немає.
Функція не має екстремумів.