вправа 15.23 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 15.23
Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями:
1) y = 1 - x, y = 3 - 2x, x = 0;
2) у = x2 - 6x + 9, у = (x + 1)(3 - x);
3) у = x2 - 4x + 3, у = 6x - x2 - 5;
4) у = 2√х9, у = -√х, x = 9;
5) у = 2х3, у = -х3, х = 1;
6) у = √x, х - 3у + 2 = 0.
1) y = 1 - x, y = 3 - 2x, x = 0;
2) у = x2 - 6x + 9, у = (x + 1)(3 - x);
3) у = x2 - 4x + 3, у = 6x - x2 - 5;
4) у = 2√х9, у = -√х, x = 9;
5) у = 2х3, у = -х3, х = 1;
6) у = √x, х - 3у + 2 = 0.
Умова:
Відповідь ГДЗ:
✔ 1) у = 1 - х, у = 3 - 2х, х = 0
х 0 4
у 1 -3
х 0 2
у 3 -1
2 2
Sф = ∫(3 - 2х)dx - ∫(1 - х)dx =
0 0
2 2 2 2
= ∫3dx - ∫2хdx - ∫dx + ∫хdx =
0 0 0 0
2 2
= 2∫dx - ∫хdx =
0 0
2 2
= 2х | - х2/2 | =
0 0
= 2 • 2 - 0 - 22/2 - 0 =
= 4 - 2 = 2
Sф = 2;
✔ 2) у = х2 - 6х + 9
у = (х - 3)2
у = (х + 1)(3 - х)
у = -х2 + 2х + 3
абсциси точок перетину заданих лній:
х1 = -1, х2 = 3
3 3
Sф = ∫(-х2 + 2х + 3)dx - ∫(х2 - 6х + 9)dx =
1 1
3 3 3
= ∫х2dx + ∫2хdx - ∫3dx +
1 1 1
3 3 3
+ ∫х2dx - ∫6хdx - ∫9dx =
1 1 1
3 3 3
= -2∫х2dx + ∫8хdx - 6∫dx =
1 1 1
3 3 3
= -2х3/3 | + 8х2/2 | - 6х| =
1 1 1
= -(2•33)/3 + 2/3 + 4 • 32 -
- 4 • 1 - 6 • 3 + 6 • 1 =
= -18 + 2/3 + 36 - 4 - 18 + 6 =
= 6 2/3 - 4 = 2 2/3
Sф = 2 2/3;
✔ 3) у = х2 - 4х + 3
у = 6х - х2 - 5
у = х2 - 4х + 3 = (х - 2)2 - 1
у = -х2 + 6х - 5 = -(х - 3)2 + 4
абсциси точок перетину заданих ліній:
х1 = 1, х2 = 4
4 4 4
Sф = -∫х2dx + ∫6хdx - ∫5dx -
1 1 1
4 4 4
- ∫х2dx + ∫4dx - ∫3dx =
1 1 1
4 4 4
= -2∫х2dx + ∫10хdx - 8∫dx =
1 1 1
4 4 4
= -2х3/3 | + 10х2/2 | - 8х | =
1 1 1
= - (2•43)/3 + 2/3 + 5 • 42 - 5 • 1 - 8 • 4 + 8 • 1 =
= - 128/3 + 2/3 + 80 - 5 - 32 + 8 =
= -42 - 37 + 88 = 9
Sф = 9;
✔ 4) у = 2√х, у = -√х, х = 9
9 9
Sф = ∫2√х dx - ∫(-√х)dx =
0 0
9 9
= 2∫√х dx + ∫√х dx =
0 0
3
= 3∫√х dx =
0
9 9
= 3 • 2/3 х√х | = 2х√х | =
0 0
= 2 • 9 • √9 = 54
Sф = 54;
✔ 5) у = 2х3, у = -х3, х = 1
Sф - ?
1 1
Sф = ∫2х3dx - ∫(-х3)dx =
0 0
1 1
= ∫2х3dx + ∫х3dx =
0 0
1 1
= 3∫х3dx = (3•х4)/4 | = 3/4
0 0
Sф = 3/4;
✔ 6) у = √х, х - 3у + 2 = 0
х + 2 = 3у
у = х/3 + 2/3
абсциси точок перетину:
√х = (х+2)/3
(3√х)2 = (х + 2)2
х2 - 5х + 4 = 0
9х = х2 + 4х + 4
Д = 9
х1 = 1, х2 = 4
4 4
Sф = ∫√х dx - ∫(х/3 + 2/3)dx =
1 1
4 4 4
= ∫√х dx - 1/3∫хdx - 2/3∫dx =
1 1 1
4 4 4
= 2/3 х√х | - 1/3 х2/2 | - 2/3х | =
1 1 1
= 2/3 • 4 • √4 - 2/3 • 1 • √1 - 42/6 +
+ 1/6 - 2/3 • 4 + 2/3 • 1 =
= 16/3 - 2/3 - 16/6 + 1/6 - 8/3 + 2/3 =
= 2 2/3 - 2 = 2/3
Sф = 2/3.
х 0 4
у 1 -3
х 0 2
у 3 -1
2 2
Sф = ∫(3 - 2х)dx - ∫(1 - х)dx =
0 0
2 2 2 2
= ∫3dx - ∫2хdx - ∫dx + ∫хdx =
0 0 0 0
2 2
= 2∫dx - ∫хdx =
0 0
2 2
= 2х | - х2/2 | =
0 0
= 2 • 2 - 0 - 22/2 - 0 =
= 4 - 2 = 2
Sф = 2;
✔ 2) у = х2 - 6х + 9
у = (х - 3)2
у = (х + 1)(3 - х)
у = -х2 + 2х + 3
абсциси точок перетину заданих лній:
х1 = -1, х2 = 3
3 3
Sф = ∫(-х2 + 2х + 3)dx - ∫(х2 - 6х + 9)dx =
1 1
3 3 3
= ∫х2dx + ∫2хdx - ∫3dx +
1 1 1
3 3 3
+ ∫х2dx - ∫6хdx - ∫9dx =
1 1 1
3 3 3
= -2∫х2dx + ∫8хdx - 6∫dx =
1 1 1
3 3 3
= -2х3/3 | + 8х2/2 | - 6х| =
1 1 1
= -(2•33)/3 + 2/3 + 4 • 32 -
- 4 • 1 - 6 • 3 + 6 • 1 =
= -18 + 2/3 + 36 - 4 - 18 + 6 =
= 6 2/3 - 4 = 2 2/3
Sф = 2 2/3;
✔ 3) у = х2 - 4х + 3
у = 6х - х2 - 5
у = х2 - 4х + 3 = (х - 2)2 - 1
у = -х2 + 6х - 5 = -(х - 3)2 + 4
абсциси точок перетину заданих ліній:
х1 = 1, х2 = 4
4 4 4
Sф = -∫х2dx + ∫6хdx - ∫5dx -
1 1 1
4 4 4
- ∫х2dx + ∫4dx - ∫3dx =
1 1 1
4 4 4
= -2∫х2dx + ∫10хdx - 8∫dx =
1 1 1
4 4 4
= -2х3/3 | + 10х2/2 | - 8х | =
1 1 1
= - (2•43)/3 + 2/3 + 5 • 42 - 5 • 1 - 8 • 4 + 8 • 1 =
= - 128/3 + 2/3 + 80 - 5 - 32 + 8 =
= -42 - 37 + 88 = 9
Sф = 9;
✔ 4) у = 2√х, у = -√х, х = 9
9 9
Sф = ∫2√х dx - ∫(-√х)dx =
0 0
9 9
= 2∫√х dx + ∫√х dx =
0 0
3
= 3∫√х dx =
0
9 9
= 3 • 2/3 х√х | = 2х√х | =
0 0
= 2 • 9 • √9 = 54
Sф = 54;
✔ 5) у = 2х3, у = -х3, х = 1
Sф - ?
1 1
Sф = ∫2х3dx - ∫(-х3)dx =
0 0
1 1
= ∫2х3dx + ∫х3dx =
0 0
1 1
= 3∫х3dx = (3•х4)/4 | = 3/4
0 0
Sф = 3/4;
✔ 6) у = √х, х - 3у + 2 = 0
х + 2 = 3у
у = х/3 + 2/3
абсциси точок перетину:
√х = (х+2)/3
(3√х)2 = (х + 2)2
х2 - 5х + 4 = 0
9х = х2 + 4х + 4
Д = 9
х1 = 1, х2 = 4
4 4
Sф = ∫√х dx - ∫(х/3 + 2/3)dx =
1 1
4 4 4
= ∫√х dx - 1/3∫хdx - 2/3∫dx =
1 1 1
4 4 4
= 2/3 х√х | - 1/3 х2/2 | - 2/3х | =
1 1 1
= 2/3 • 4 • √4 - 2/3 • 1 • √1 - 42/6 +
+ 1/6 - 2/3 • 4 + 2/3 • 1 =
= 16/3 - 2/3 - 16/6 + 1/6 - 8/3 + 2/3 =
= 2 2/3 - 2 = 2/3
Sф = 2/3.