вправа 1.97 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

11 клас ➠ геометрія ➠ Істер
 
Вправа 1.97
 
Умова:
 
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 - правильна шестикутна призма, у якої висота дорівнює 2 см, а площа перерізу AB1C1D дорівнює 24 см2. Знайдіть сторону основи призми.
 
 
Відповідь:
 
вправа 1.97 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
 
Нехай ABCDEFA1B1C1D1E1F1 - правильна шестикутна призма,
ABCDEF - основа (мал. 69), ВВ1 = 2 см, SА1В1С1D = 24 см2.
Знайдемо сторону основи.
Так як призма правильна, то ABCDEF - правильний шестикутник,
його кут (180°(6-2)/6) = (180°•4)/6 = 120°.
Нехай сторона АВ = а.
Розглянемо ABCD - трапеція.
∠АВС = ∠DCB = 120°, тоді ∠BAD = ∠CDA = 60°.
Із ΔАВК (∠К = 90°), ВК - висота трапеції,
знаходимо АК = а • cos60° = а/2, тоді
AD = AK + LD + KL = а/2 + а/2 + а = 2а (см)
ВК = asin60° = а√3/2 (см)
Із ΔВ1В1К (∠В = 90°),
В1К = √В1В2 + ВК2 = √42 + (а√3/2)2 = 1/2√16 + 3а2.
Розглянемо трапецію АВ1С1D
У неї В1С1 = а, AD = 2а, В1К = 1/2√16 + 3а2.
Тоді площа цієї трапеції:
S = (а+2а)/2 • 1/2√16+3а2, а за умовою
S = 24 см2, тоді (а+2а)/2 • 1/2√16+3а2 = 24
3а/4√16+3а2 = 24
9а2/16(16 + 3а2) = 576
а2(16 + 3а2) = 1024
Нехай а2 = t, t > 0, тоді
t(16 + 3t2) = 1024
16t + 3t2 = 1024
3t2 + 16t - 1024 = 0
D = 162 - 4 • 3 • (-1024) = 12544
Так як t > 0, то
t = (-16 + √12544)/(2 • 3); t = (-16 + 112)/6 = 16.
Тоді а2 = 16, звідки а = 4 (см).
Відповідь: 4 см