вправа 9.97 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 9.97
Умова:
Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює а. Через цю сторону і середину протилежного бічного ребра проведено переріз, який утворює з площиною основи кут α. Знайдіть об'єм призми.
Відповідь ГДЗ:
Нехай АВСА1В1С1 - правильна призма,
АВ = а, т. К - середина СС1,
СО - висота ΔАВС, ∠СОК = α.
Знайдемо V - об'єм призми.
V = S • h, де S = SАВС - площа ΔАВС,
h = СС1 - висота призми.
ΔАВС - правильний, тому \begin{equation} S=S_{ABC}=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \end{equation} крім того, ∠ВАС = 60°. Тоді \begin{equation} CO=ACsinBAC=asin60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{equation} Із ΔКСО (∠КСО = 90°) \begin{equation} CR=COtgCOK=CO\cdot tg\alpha =\frac{a\sqrt{3}}{2}tg\alpha \end{equation} \begin{equation} h=CC_{1}=2\cdot CK=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}tg\alpha=a\sqrt{3}tg\alpha \end{equation} Отже, \begin{equation} V=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\cdot a\sqrt{3}tg\alpha=\frac{3a^{3}}{4}tg\alpha. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{3a^{3}}{4}tg\alpha \end{equation}
Нехай АВСА1В1С1 - правильна призма,
АВ = а, т. К - середина СС1,
СО - висота ΔАВС, ∠СОК = α.
Знайдемо V - об'єм призми.
V = S • h, де S = SАВС - площа ΔАВС,
h = СС1 - висота призми.
ΔАВС - правильний, тому \begin{equation} S=S_{ABC}=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \end{equation} крім того, ∠ВАС = 60°. Тоді \begin{equation} CO=ACsinBAC=asin60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \end{equation} Із ΔКСО (∠КСО = 90°) \begin{equation} CR=COtgCOK=CO\cdot tg\alpha =\frac{a\sqrt{3}}{2}tg\alpha \end{equation} \begin{equation} h=CC_{1}=2\cdot CK=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}tg\alpha=a\sqrt{3}tg\alpha \end{equation} Отже, \begin{equation} V=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}\cdot a\sqrt{3}tg\alpha=\frac{3a^{3}}{4}tg\alpha. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{3a^{3}}{4}tg\alpha \end{equation}