вправа 6.12 гдз 11 клас математика Мерзляк Номіровський 2019
Вправа 6.12
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation} 1)3log\tfrac{2}{8}(-x)-2log_{8}(-x-1=0) \end{equation} ОДЗ: -x > 0, x < 0.
Нехай \begin{equation} log_{8}(-x)=t \end{equation} тоді \begin{equation} 3t^{2}-2t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=4+4*3=4+12=16; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{2+4}{6}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} log_{8}(-x)=1, \\ log_{8}(-x)=-\frac{1}{3}; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -x=8^{1}, \\ -x=8^{-\frac{1}{3}}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=-8, \\ x=-\frac{1}{2}. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} -8;-\frac{1}{2} \end{equation} \begin{equation} 2)2log_{7}\sqrt{x}=log\tfrac{2}{7}x-6; \end{equation} \begin{equation} log_{7}x-log\tfrac{2}{7}x+6=0; \end{equation} \begin{equation} log\tfrac{2}{7}x-log_{7}x-6=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} log_{7}x=t \end{equation} тоді \begin{equation} t^{3}-t-6=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=3,t_{2}=-2 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} log_{7}x=3, \\ log_{7}x=-2; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x=7^{3} \\ x=7^{-2}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=348, \\ x=\frac{1}{49}. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 343;\frac{1}{49}. \end{equation} \begin{equation} 3)3log_{3}x+3log_{x}3=10; \end{equation} \begin{equation} 3log_{3}x+\frac{3}{log_{3}x}-10=0 \end{equation} За умовою \begin{equation} x \neq 1 \end{equation} тоді \begin{equation} log_{3} x \neq 0, \end{equation} тому \begin{equation} 3log\tfrac{2}{3}x-10log_{3}x+3=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} log_{3}x=t \end{equation} тоді \begin{equation} 3t^{2}-10t+3=0; \end{equation} \begin{equation} D=100-4*3*3= \end{equation} \begin{equation} =100-36=64; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{10+8}{6}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} log_{3}x=3, \\ log_{3}x=\frac{1}{3}; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x=3^{3} \\ x=3^{\frac{1}{3}}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=27, \\ x=\sqrt[3]{3}. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 27;\sqrt[3]{3} \end{equation} \begin{equation} 4)\frac{\lg x}{\lg x+2}-\frac{2}{\lg x-1}=1 \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} 1)\lg x+2 \neq 0; \end{equation} \begin{equation} \lg x \neq -2; \end{equation} \begin{equation} x \neq 0,01; \end{equation} \begin{equation} 2)\lg x-1 \neq 0; \end{equation} \begin{equation} \lg x \neq 1; \end{equation} \begin{equation} x \neq 10; \end{equation} \begin{equation} 3) x > 0 \end{equation} Нехай \begin{equation} \lg x=t, \end{equation} тоді \begin{equation} \frac{t}{t+2}-\frac{2}{t-1}-1=0; \end{equation} \begin{equation} t(t-1)-2(t+2)- \end{equation} \begin{equation} -(t+2)(t-1)=0; \end{equation} \begin{equation} t^{2}-t-2t-4-t^{2}+ \end{equation} \begin{equation} +t-2t+2=0; \end{equation} \begin{equation} -4t-2=0; \end{equation} \begin{equation} t=-\frac{1}{2}. \end{equation} \begin{equation} \lg x =-\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} x=10^{-\frac{1}{2}}; \end{equation} \begin{equation} x=\frac{1}{\sqrt{10}} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{10}} \end{equation}
\begin{equation} 1)3log\tfrac{2}{8}(-x)-2log_{8}(-x-1=0) \end{equation} ОДЗ: -x > 0, x < 0.
Нехай \begin{equation} log_{8}(-x)=t \end{equation} тоді \begin{equation} 3t^{2}-2t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=4+4*3=4+12=16; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{2+4}{6}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} log_{8}(-x)=1, \\ log_{8}(-x)=-\frac{1}{3}; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -x=8^{1}, \\ -x=8^{-\frac{1}{3}}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=-8, \\ x=-\frac{1}{2}. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} -8;-\frac{1}{2} \end{equation} \begin{equation} 2)2log_{7}\sqrt{x}=log\tfrac{2}{7}x-6; \end{equation} \begin{equation} log_{7}x-log\tfrac{2}{7}x+6=0; \end{equation} \begin{equation} log\tfrac{2}{7}x-log_{7}x-6=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} log_{7}x=t \end{equation} тоді \begin{equation} t^{3}-t-6=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=3,t_{2}=-2 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} log_{7}x=3, \\ log_{7}x=-2; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x=7^{3} \\ x=7^{-2}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=348, \\ x=\frac{1}{49}. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 343;\frac{1}{49}. \end{equation} \begin{equation} 3)3log_{3}x+3log_{x}3=10; \end{equation} \begin{equation} 3log_{3}x+\frac{3}{log_{3}x}-10=0 \end{equation} За умовою \begin{equation} x \neq 1 \end{equation} тоді \begin{equation} log_{3} x \neq 0, \end{equation} тому \begin{equation} 3log\tfrac{2}{3}x-10log_{3}x+3=0. \end{equation} Нехай \begin{equation} log_{3}x=t \end{equation} тоді \begin{equation} 3t^{2}-10t+3=0; \end{equation} \begin{equation} D=100-4*3*3= \end{equation} \begin{equation} =100-36=64; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{10+8}{6}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} log_{3}x=3, \\ log_{3}x=\frac{1}{3}; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x=3^{3} \\ x=3^{\frac{1}{3}}; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=27, \\ x=\sqrt[3]{3}. \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 27;\sqrt[3]{3} \end{equation} \begin{equation} 4)\frac{\lg x}{\lg x+2}-\frac{2}{\lg x-1}=1 \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} 1)\lg x+2 \neq 0; \end{equation} \begin{equation} \lg x \neq -2; \end{equation} \begin{equation} x \neq 0,01; \end{equation} \begin{equation} 2)\lg x-1 \neq 0; \end{equation} \begin{equation} \lg x \neq 1; \end{equation} \begin{equation} x \neq 10; \end{equation} \begin{equation} 3) x > 0 \end{equation} Нехай \begin{equation} \lg x=t, \end{equation} тоді \begin{equation} \frac{t}{t+2}-\frac{2}{t-1}-1=0; \end{equation} \begin{equation} t(t-1)-2(t+2)- \end{equation} \begin{equation} -(t+2)(t-1)=0; \end{equation} \begin{equation} t^{2}-t-2t-4-t^{2}+ \end{equation} \begin{equation} +t-2t+2=0; \end{equation} \begin{equation} -4t-2=0; \end{equation} \begin{equation} t=-\frac{1}{2}. \end{equation} \begin{equation} \lg x =-\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} x=10^{-\frac{1}{2}}; \end{equation} \begin{equation} x=\frac{1}{\sqrt{10}} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{10}} \end{equation}