вправа 7.12 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 7.12


Умова: 

Кут між твірною циліндра і діагоналлю осьового перерізу дорівнює φ. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо площа його основи дорівнює Q.

Розв'язання:


Нехай ABCD - осьовий переріз циліндра,
АD - твірна, тоді ∠АDВ - кут між твірною і діагоналлю ВD перерізу, ∠АDВ = φ.
Знайдемо S_біч.
Так як S_осн. = Q = πR²,
де R - радіус основи циліндра, то \begin{equation} R=\sqrt{\frac{Q}{\Pi }} \end{equation} Так як АО = R,
то АВ = 2АО = \begin{equation} =2\sqrt{\frac{Q}{\Pi }} \end{equation} Із ΔАВD (∠ВАD = 90°) \begin{equation} AD=\frac{AB}{tg\angle ADB}= \end{equation} \begin{equation} =ABctg\angle ADB= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2\sqrt{Q}ctg\varphi }{\Pi } \end{equation} S_біч. = 2πRН,
де Н - висота циліндра.
Тоді S_біч. = 2π • АО • АD = \begin{equation} =2\Pi \cdot \frac{2\sqrt{Q}}{\sqrt{\Pi }}\cdot \end{equation} \begin{equation} \cdot \frac{2\sqrt{Q}ctg\varphi }{\sqrt{\Pi }}=4Qctg\varphi . \end{equation} Відповідь: 4Qctgφ