вправа 568 гдз 7 клас геометрія Мерзляк Полонський

Вправа 568


Розв'язання:

Дано:
ΔАВС - рівнобедрений
F - центр вписаного кола
О - центр описаного кола
FЕ = ОЕ
Знайти:
кути ΔАВС



Так як F - центр вписаного кола, то
АF - бісектриса ∠ВАС.
∠ЕАF = ∠FАВ.
Нехай ∠ЕВF = ∠FАВ = х°,
тоді ∠ВАЕ = 2х.
В ΔАВС
ВЕ - висота, медіана, бісектриса.
В ΔАЕF
∠АЕF = 90°,
=> ΔАЕF - прямокутний.
∠ЕFА = 90° - ∠ЕАF = 90° - х°.
∠ЕFА = 90° - х°
В ΔВЕА
∠АЕВ = 90°,
=> ΔВЕА - прямокутний.
∠АВЕ = 90° - ∠ВАЕ = 90° - 2х°.
Якщо, т.О - центр описаного навколо ΔАВС кола,
то ОА = ОВ = R.
Розглянемо ΔОАВ.
В ньому ОА = ОВ.
∠АВО = ∠ВАО = 90° - 2х
∠ОАЕ = ∠ОАВ - ∠ЕАВ
∠ОАЕ = 90° - 2х° - 2х° - 90° - 4х
∠ОАЕ = ∠ЕАF = х°,
тоді 90° - 4х° = х
5х° = 90°
х = 18°
∠ВАС = ∠ВСА = 2х° = 2 • 18° = 36°
∠АВС = 180° - 2 • 36° = 108°.
Відповідь: 36°; 36°; 108°