Алгебра 7 клас решебник

Вправа 775

 

Умова:

Доведіть, що вираз (2n - 1)3 - (2n - 1) ділиться на 24 при будь-якому натуральному значенні n.

 

Відповідь:

(2n - 1)3 - (2n - 1) = (2n - 1)((2n - 1)2 - 1) = (2n - 1)((4n2 - 4n + 1 - 1) =
= (2n - 1)((4n2 - 4n) = (2n - 1) • 2n(2n - 2).

Числа 2n - 2, 2n - 1 i 2n - три послідовних натуральних числа,
при цьому серед них два парних числа - (2n i 2n - 2).
Будь-які два послідовних парних числа діляться відповідно
на 2 i на 4. Отже, добуток кратний 8.

Серед трьох послідовних натуральних чисел одне обов'язково
ділиться на 3. Тоді добуток длиться на 8 i на 3, а значить, i на добуток 8 • 3 = 24.