ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 953

Доведіть, що для будь-яких значень змінних вираз набуває лише невід’ємних значень:

1) $4x(4x - 10) + 25 = 16x^2 - 40x + 25 = (4x - 5)^2.$

Оскільки $(4x - 5)^2 \ge 0$ для будь-якого $x,$ твердження доведено.

---

2) $(a - 2)((a - 2) + 2m) + m^2 = (a - 2)^2 + 2m(a - 2) + m^2 = $

$= ((a - 2) + m)^2 = (a - 2 + m)^2.$

Оскільки квадрат будь-якого виразу $\ge 0,$ твердження доведено.

---

3) $(a + b)(a + b + 8) + 16 = (a + b)^2 + 8(a + b) + 16 = ((a + b) + 4)^2 =$

$= (a + b + 4)^2.$

Оскільки $(a + b + 4)^2 \ge 0,$ твердження доведено.

• В першому прикладі ми спочатку розкриваємо дужки, множачи одночлен на многочлен. Отриманий тричлен $16x^2 - 40x + 25$ ми згортаємо у квадрат різниці, де першим числом є $4x,$ а другим — $5.$
• У другому прикладі ми помічаємо, що вираз $(a-2)$ повторюється. Розкривши зовнішні дужки, ми бачимо структуру $A^2 + 2Am + m^2,$ де $A = (a-2).$ Це дозволяє нам згорнути все у квадрат суми $((a-2) + m)^2.$
• В третьому прикладі ми діємо аналогічно: розглядаємо блок $(a+b)$ як одне ціле. Після перемноження отримуємо тричлен, який згортається у квадрат суми $((a+b) + 4)^2.$ Оскільки результат піднесення до квадрата завжди $\ge 0,$ ми довели, що вираз не може бути від'ємним.