вправа 1.49 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 1.49
Прямі а, b і с проходять через точку D. Площина, що не проходить через точку D, перетинає прямі а, b і с у точках, що не лежать на одній прямій. Доведіть, що прямі а, b і с не лежать в одній площині.
Прямі а, b і с проходять через точку D. Площина, що не проходить через точку D, перетинає прямі а, b і с у точках, що не лежать на одній прямій. Доведіть, що прямі а, b і с не лежать в одній площині.
Умова:
Відповідь:
Припустимо, що а ∩ α = А, b ∩ α = В, с ∩ α = С. Точки А, В і С не лежать на одній прямій.
Розглянемо прямі а і b: а ∩ b = D, отже за теоремою про існування і єдиність площини, яка проходить через дві прямі, що перетинаються, прямі а і b утворюють площину (АВD), (АВD) ∩ α = АВ.
Аналогічно міркуючи, можна дійти висновку, що існує площина (АСD). ((АСD) ∩ α = АС), та площина (ВСD) ((ВСD) ∩ α = ВС).
Отже, прямі а, b і с не лежать в одній площині. Якщо і прямі а, b і с лежали в одній площині, то за аксіомою С3 вони б перетиналися з площиною α по прямій, що проходить через точки А, В і С, а ці точки не лежать на одній прямій за умовою задачі.
Розглянемо прямі а і b: а ∩ b = D, отже за теоремою про існування і єдиність площини, яка проходить через дві прямі, що перетинаються, прямі а і b утворюють площину (АВD), (АВD) ∩ α = АВ.
Аналогічно міркуючи, можна дійти висновку, що існує площина (АСD). ((АСD) ∩ α = АС), та площина (ВСD) ((ВСD) ∩ α = ВС).
Отже, прямі а, b і с не лежать в одній площині. Якщо і прямі а, b і с лежали в одній площині, то за аксіомою С3 вони б перетиналися з площиною α по прямій, що проходить через точки А, В і С, а ці точки не лежать на одній прямій за умовою задачі.