вправа 10.43 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

10 клас ➠ геометрія ➠ Істер
 
Вправа 10.43


Два рівносторонніх трикутники ABC і АВС1 лежать у взаємно перпендикулярних площинах, АВ = 2b см. Знайдіть:
1) довжину відрізка СС1; 2) косинус кута САС1.

Умова:



Відповідь:

вправа 10.43 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

Так, як ΔАВС і ΔАВС1 - рівні
АВ = АС = ВС = АС1 = ВС1 = 2b
Нехай СО і С1О - висоти відповідно
ΔАВС і ΔАВС1, СО ┴ С1О так, як площини (АВС) ┴ (АВС1).
Крім того СО = С1О.
Отже, ΔСОС1 - прямокутний рівнобедрений.
Із ΔАСО: СО = √АС2-АО2 = √(2b)2-b2 = b√3,
тоді із ΔСОС1
СС1 = СО: cos45° = (b√3)/(√2/2) = (2b√3)/√2 = b√6.
Із ΔАСС1 за теоремою косинусів
СС12 = АС2 + АС12 - 2АС • АС1cosСАС1,
тоді cos∠САС1 = (АС2+АС12-СС12)/(2АС•АС1)
cos∠САС1 = ((2b)2+(2b)2(b√6)2)/(2•2b•2b)
cos∠САС1 = (4b2+4b2-6b2)/8b2
cos∠САС1 = 1/4.
Відповідь: 1) b√6 см; 2) 1/4.