вправа 11.70 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 11.70
Точка Р рівновіддалена від усіх прямих, що містять сторони паралелограма. Доведіть, що паралелограм є ромбом.
Точка Р рівновіддалена від усіх прямих, що містять сторони паралелограма. Доведіть, що паралелограм є ромбом.
Умова:
Відповідь - ГДЗ:
Нехай ABCD - паралелограм
SO ┴ АВСD, SК = SL = SМ = SN - відстань
від т. S до сторін АВ, ВС, СD, АD - відповідно.
ΔSOM = ΔSON = ΔSOK = ΔSOL (за катетом і гіпотенузою),
тоді ОМ = ON = OK = OL - радіуси кола вписаного в ABCD.
Тому ОМ ┴ CD, ON ┴ AD, OK ┴ AB, OL ┴ BC.
ΔОМD = ΔОND (за катетом ОМ = ON і спільною гіпотенузою OD).
Тоді ∠МDО = МDО, отже ОD - бісектриса кута ∠МDN.
Аналогічно доводимо, що ОD - бісектриса ∠АВС,
АС - бісектриса кутів ∠ВАD, ∠ВСD.
За ознакою ромба АВСD - ромб.