вправа 11.92 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

Умова:

1) 

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб, т. М - середина А₁В₁.
Проведемо МР, МР ⊂ (А₁В₁С₁), МР║A₁D₁, тоді ∠MPD1 = 90°.
Проведемо С₁К ┴ МD₁.
Тоді С₁К ┴ СС₁ і С₁К ┴ МD₁, отже С₁К - відстань між СС₁ і МD₁.
Із ΔМРD₁ (∠МРD₁ = 90°) МР = АD₁ = 30 см,
РD₁ = 15 см, МD₁ = √МР²+РD₁² = √900+225 = √1125 (см)
ΔМРD₁ ~ ΔС₁КD₁ (∠Р = ∠К = 90°, ∠МD₁Р = ∠С₁D₁К - спільний), тоді
С₁К/МР = С₁D₁/МD₁; С₁К/30 = 30/√1125;
С₁К = 900/√1125 = 12√5 (см).

2)

Првоедемо В₁D₁, тоді В₁D₁ ∩ А₁С₁ = О - точка перетину діагоналей.
Проведемо АС₁ і QО ┴ АС₁, тоді ОQ - відстань між В₁D і АС₁.
А₁С₁ = √А₁А₁²+В₁С₁² = 30√2 (см), тоді
ОС₁ = А₁С₁/2 = 15√2 (см)
ΔОО₁С₁ ~ ΔАА₁С₁ (∠Q = ∠А₁; ∠А₁С₁А - спільний),
тоді OQ/АА₁ = ОС₁/АС₁.
Із ΔАА₁С₁:
АС₁ = √А₁С₁²+АА₁² = √1800+900 = 30√3 (см)
OQ/30 = 15√2/30√3
OQ = 15√2/√3 = 5√6 (см).

3)

Так, як т. М ⊂ А₁В₁, то пряма MD ⊂ (А₁В₁D),
АВ║А₁В₁, тоді АВ || (А₁В₁D), тоді відстань між АВ і МD
дорівнює відстані від АВ до (А₁В₁D).
Проведемо МК ┴ АВ, К ∈ АВ, МL ┴ СD,
тоді КЕ - висота ΔМКЕ буде шуканою відстанню між АВ і МD.
КЕ = 1/2АD₁; АD = 30√3
КЕ = 1/2 • 30√3 = 15√3 (см).
Відповідь: 1) 12√5 см; 2) 5√6; 3) 15√3 см