вправа 12.53 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

Умова:

Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб, АВ = а - сторона куба,
тоді АС = ВD = а√2 - діагональ куба.
1) Кут між АD₁ і А₁С₁ дорівнює куту
між АС і АD₁, тобто ∠САD₁.
Із ΔАD₁С маємо АС = АD₁ = D₁С = а√2,
тобто ΔАD₁С - рівносторонній, тому ∠САD = 60°.
2) Кут між АВ і DС₁ дорівнює куту між АВ і АВ₁, тобто ∠ВАВ₁.
АВВ₁А₁ - квадрат АВ₁ - діагональ, тому ∠ВАВ₁ = 45°.
3) ∠АD₁С - рівносторонній,
ОD₁ - медіана, а отже і бісектриса ΔАD₁С,
тоді ∠АD₁О = 1/2 ∠АD₁С = 1/2 • 60° = 30° - кут між ОD₁ і АD₁.
4) Із ΔОDD₁ (∠ОDD₁ = 90°)
DD₁ = а, ОD = 1 : ∠В = а√2 : 2, тоді
tg∠ОDD₁ = ОD : DD₁
tg∠ОDD₁ = а√2 : 2а = √2 : 2
∠ОD1D = arctg √2/2 - кут між DD₁ і ОD₁.
Тоді кут між АА₁ і ОD₁ теж дорівнює arctg √2/2.
5) Кут між А₁В і АС дорівнює куту між А₁В і А₁С1, тобто ∠ВАС₁.
ΔА₁ВС₁ - рівносторонній,
А₁В = А₁С₁ = ВС₁ = а√2, тому ∠ВА₁С₁ = 60°.
6) Кут між А₁В і DС₁ дорівнює куту між А₁В і АВ₁.
АВА₁В - квадрат, А₁В і АВ₁ - діагоналі квадрата,
тому А₁В ┴ АВ₁, тобто кут дорівнює 90°.
Відповідь: 1) 60°; 2) 45°; 3) 3°; 4) arctg √2/2; 5) 60°; 6) 90°