вправа 12.66 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 12.66
Пряма BN перпендикулярна до площини правильного трикутника ABC, BN = AB, точка М - середина АС. Знайдіть кут між:
1) прямою NA і площиною ABC;
2) прямою NM і площиною ABC;
3) прямою АС і площиною NBM;
4) прямою АВ і площиною NBM;
5) прямою АС і площиною NBA;
6) прямою ВМ і площиною NBA;
7) прямою АК і площиною NBM;
8) прямою BN і площиною ACN.
Пряма BN перпендикулярна до площини правильного трикутника ABC, BN = AB, точка М - середина АС. Знайдіть кут між:
1) прямою NA і площиною ABC;
2) прямою NM і площиною ABC;
3) прямою АС і площиною NBM;
4) прямою АВ і площиною NBM;
5) прямою АС і площиною NBA;
6) прямою ВМ і площиною NBA;
7) прямою АК і площиною NBM;
8) прямою BN і площиною ACN.
Умова:
Відповідь - ГДЗ:
Нехай ΔАВС - правильний,
BN ┴ (АВС), т. М - середина АС, ВN = АВ.
Позначимо ВN = АВ = а.
1) ∠NАВ - кут між NА і (АВС)
ΔNАВ - прямокутний, рівнобедрений, тому ∠NАВ = 45°.
2) ∠NМВ - кут між NМ і (АВС).
ВМ - висота ΔАВС, тоді
ВМ = √АВ2-АМ2 = √а2-(а2/4) = √3а : 2
Із ΔNМВ (∠NВМ = 90°)
tg∠NМВ = NВ : ВМ
tg∠NМВ = а : (√3а)/2 = 2 : √3 = 2√3 : 3
∠NМВ = arctg 2√3 : 3.
3) ВМ ? АС, так як ВМ - висота ΔАВС,
тому ∠АМВ = 90° - кут між АС і (NВМ).
4) ∠АВМ - прямокутний, ∠АМВ = 90°,
АВ = а, АМ = а/2, тому ∠АВМ = 30° - кут між АВ і NВМ.
5) Із ΔАВМ ∠ВАМ = 90° - ∠АВМ =
= 90° - 30° = 60° - кут між АС і (NВА).
6) ∠АВМ = 30° - кут між АВ і ВМ,
а отже і між ВМ і площиною NВА.
8) Із ΔNВМ (∠NВМ = 90°)
tg∠ВNМ = ВМ : NВ
tg∠ВNМ = √3 а : 2а = √3 : 2
∠ВNМ = arctg √3/2 - кут між ВN і (АСN).
Відповідь: 1) 45°; 2) arctg 2√3/3; 3) 90°;
4) 30°; 5) 60°; 6) 30°; 8) arctg √3/2.