вправа 12.71 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

Умова:

1)

Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб,
АС ∩ ВD = 0, позначимо АВ = а.
Кут між площинами АСВ₁ і АСD - це кут ∠ВОВ₁.
Із ΔВВ₁О (∠В₁ВО = 90°)
ВВ₁ = а, ВО = 1/2 ВD = 1/2 а√2
tg∠ВОВ₁ = ВВ₁ : ВО
tg∠ВОВ₁ = а: (а√2/2) = 2/√2,
тоді ∠ВОВ₁ = arctg 2/√2 = arctg√2.

2)

Нехай АВ = а - ребро куба.
АС ∩ ВD = 0.
Проведемо А₁О і С₁О, тоді кут
між А₁ВD і С₁ВD це кут ∠А₁ОС₁.
ΔА₁DВ = ΔС₁DВ - рівносторонні,
А₁О = С₁О - висоти цих трикутників.
Із ΔА₁DВ
А₁О = √А₁D²-DО²
А₁D = а√2/2, тоді
А₁О = √2а²-(а²/2) = √(3а²/2) = √3а / √2
С₁О = А₁О = √3а / √2
Із ΔА₁ОС₁
cos∠А₁ОС₁ =
= (А₁О²+С₁О²-А₁С₁²):(2•А₁О•С₁О²)
cos∠А₁ОС₁ = (3/2а²+3/2а²-2а²):(2•3/2а²)
cos∠А₁ОС₁ = 1/3
∠А₁ОС₁ = arccos 1/3

3)

Так, як А₁С₁║АС, А₁В║D₁С, А₁С₁ ∩ А₁В, АС ∩ D₁С,
то площини А₁С₁В і АСD₁ паралельні, тому кут між ними 0°.

4)

Кут між площинами АА₁М і В₁С₁С
дорівнують куту між АА₁М і АА₁D₁.
Тобто куту ∠М₁АD.
Із ΔАDМ₁ (∠АDМ₁ = 90°)
АD = а, DМ₁ = 1/2 DС = а/2, тоді
tg∠М₁АD = DМ₁/АD
tg∠М₁АD = (а/2) : а = 1/2, тоді
∠М₁АD = arctg 1/2
Відповідь: 1) arctg√2; 2) arccos 1/3; 3) 0°; 4) arctg 1/2.