вправа 12.73 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

Умова:

1) Кут між А₁М і ВК дорівнює куту між А₁М і В₁К₁
В₁К₁║ВК, В₁К₁ ⊂ (А₁В₁С₁),
ΔА₁ВС = ΔВ₁С₁К₁ (за двома катетами).
Нехай А₁М ∩ В₁К₁ = Е.
Позначимо ∠В₁А₁М = α,
∠А₁МВ₁ = β, тоді α + β = 90°.
Із того, що ΔА₁В₁М = ΔВ₁С₁К₁ слідує ∠В₁А₁М = ∠К₁В₁С₁ = α.
Розглянемо ΔВ₁ЕМ, в ньому ∠ЕВ₁М = α, ∠В₁М₁Е = β, тоді
∠В₁ЕМ = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90°.
Отже, А₁М ∩ В₁К₁ під кутом 90°,
тоді кут між А₁М і ВС також 90°.
2) Проведемо С₁D || АВ₁, тоді кут між АВ₁ і С₁О
дорівнює куту між С₁О і С₁D, тобто це кут ∠ОС₁D.
Нехай АВ = а - сторона куба,
С₁D = а√2 - діагональ квадрата СС₁D₁D
ОD = 1/2 ВD = 1/2 • а√2 =
= а/√2 - половина діагоналі квадрата АВСD.
Знайдемо ОС₁ із ΔОСС₁, ∠ОСС₁ = 90°
ОС = а√2, СС1 = а, тоді
ОС₁ = √СС₁²+ОС² = √а²+(а√2/2)² = √3 а : √2.
Розглянемо ΔС₁D:
cos∠ОС₁D =
= (ОС₁²+С₁D²-ОD²) : (2•ОС₁•С₁D)
cos∠ОС₁D =
= (3/2 а² + 2а² - а²/2) : (2• (√3а/√2) • √2а)
cos∠ОС₁D = (3/2 + 2 - 1/2) : 2√3
cos∠ОС₁D = 3/2√3
cos∠ОС₁D = √3/2
Тоді ∠ОС₁D = arccos √3/2 = 30°.
Відповідь: 30°