вправа 13.62 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

10 клас ➠ геометрія ➠ Істер
 
Вправа 13.62


Дано точки А(-1; 3; 8) і В(-1; 4; 7). Знайдіть у площині yz усі такі точки С, щоб трикутник ABC був рівностороннім.

Умова:



Відповідь - ГДЗ:

Нехай т. С(0, у z) - точка в площині уz.
Якщо ΔАВС - рівносторонній, то АВ = АС = ВС
АВ = √1+1 = √2
АС = √(-1)2+(у-3)2+(z-8)2 =
= √(у-3)2+(z-8)2+1
ВС = √1+(у-4)2+(z-7)2
Тоді:
 (у - 3)2 + (z - 8)2 + 1 = 2
{
 (у - 4)2 + (z - 7)2 + 1 = 2
Звідки
(у - 3)2 + (z - 8)2 =
= (у - 4)2 + (z - 7)2
у2 - 6у + 9 + z2 - 16z + 64 =
= у2 - 8у + 16 + z2 - 14z + 49
2у - 2z = -8
у - z = -4
у = z - 4, тоді
(z - 4 - 3)2 + (z - 8)2 = 1
(z - 7)2 + (z - 8)2 = 1
z2 - 14z + 49 + z2 - 16z + 64 + 1 = 0
2z2 - 30z + 112 = 0 : 2
z2 - 15z + 56 = 0
z1 = 7, z2 = 8
 z1 = 7 або z2 = 8
{                {
 у1 = 7 - 4   у2 = 8 - 4
 z1 = 7  z2 = 8
{          {
 у1 = 3  у2 = 4
Точка С може мати координати (0; 3; 7)
або (0; 4; 8), тоді ΔАВС - рівносторонній.
Відповідь: (0; 3; 7) або (0; 4; 8)