вправа 15.60 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 15.60
Умова:
Чи компланарні вектори:
1) а(-2; 3; 4), b(1; 0; 5), с(-3; 2; 0);
2) a(1; 0; 3), b(2; -1; 4), с(5; -1; 13)?
Умова:
Чи компланарні вектори:
1) а(-2; 3; 4), b(1; 0; 5), с(-3; 2; 0);
2) a(1; 0; 3), b(2; -1; 4), с(5; -1; 13)?
Відповідь - ГДЗ:
1) а(-2; 3; 4), b(1; 0; 5), c(-3; 2; 0)
1/-2 ≠ 0/3, тому а і b колінеарні.
Якщо с можна розкласти за а і b, то а, b, с - компланарні.
Припустимо, що існують числа х і у, при яких
с = ха + уb
Маємо систему: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -3=-2x+y & & \\ 2=3x & & \\ 0=4x+5y & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2x+y=3 & & \\ x=\frac{2}{3} & & \\ 4\cdot \frac{2}{3}+5y=0 & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y=-3+\frac{4}{3} & & \\ x=\frac{2}{3} & & \\ y=-\frac{8}{15} & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2\cdot \frac{2}{3}+y=-3 & & \\ x=\frac{2}{3} & & \\ 5y=-\frac{8}{3} & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y=\frac{-5}{3} & & \\ x=\frac{2}{3} & & \\ 5y=-\frac{8}{15} & & \end{matrix}\right. \end{equation} Так, як -5/3 ≠ -8/15, то ми маємо два різних
значення у, тобто система не має розв'язків.
Отже, такі числа х і у не існують.
Вектори а, b і с не компланарні.
2) а(1; 0; 3), b(2; -1; 4), с(5; -1; 13)
1/2 ≠ 0/-1, тому а і b неколінеарні.
Припустимо, що існують такі числа х і у, при яких
с = ха + уb, тоді \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+2y=5 & & \\ -y=-1 & & \\ 3x+4y=13 & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=5-2\cdot 1 & & \\ y=1 & & \\ 3x=13-4 & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=3 & & \\ y=1 & & \\ 3x=9 & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=3 & & \\ y=1 & & \\ x=3 & & \end{matrix}\right. \end{equation} Отже, маємо х = 3, у = 1
с = 3а + b, тобто вектор с можна розкласти за
векторами а і b, тому а, b і с компланарні.
Відповідь: 1) ні; 2) так
1/-2 ≠ 0/3, тому а і b колінеарні.
Якщо с можна розкласти за а і b, то а, b, с - компланарні.
Припустимо, що існують числа х і у, при яких
с = ха + уb
Маємо систему: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -3=-2x+y & & \\ 2=3x & & \\ 0=4x+5y & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2x+y=3 & & \\ x=\frac{2}{3} & & \\ 4\cdot \frac{2}{3}+5y=0 & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y=-3+\frac{4}{3} & & \\ x=\frac{2}{3} & & \\ y=-\frac{8}{15} & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2\cdot \frac{2}{3}+y=-3 & & \\ x=\frac{2}{3} & & \\ 5y=-\frac{8}{3} & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y=\frac{-5}{3} & & \\ x=\frac{2}{3} & & \\ 5y=-\frac{8}{15} & & \end{matrix}\right. \end{equation} Так, як -5/3 ≠ -8/15, то ми маємо два різних
значення у, тобто система не має розв'язків.
Отже, такі числа х і у не існують.
Вектори а, b і с не компланарні.
2) а(1; 0; 3), b(2; -1; 4), с(5; -1; 13)
1/2 ≠ 0/-1, тому а і b неколінеарні.
Припустимо, що існують такі числа х і у, при яких
с = ха + уb, тоді \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+2y=5 & & \\ -y=-1 & & \\ 3x+4y=13 & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=5-2\cdot 1 & & \\ y=1 & & \\ 3x=13-4 & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=3 & & \\ y=1 & & \\ 3x=9 & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=3 & & \\ y=1 & & \\ x=3 & & \end{matrix}\right. \end{equation} Отже, маємо х = 3, у = 1
с = 3а + b, тобто вектор с можна розкласти за
векторами а і b, тому а, b і с компланарні.
Відповідь: 1) ні; 2) так