вправа 17.82 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 17.82
Умова:
Дано точки С(-1; 3; 1) і D(-1; -3; 9). Знайдіть множину всіх таких точок N, для яких кут CND:
1) прямий; 2) тупий; 3) гострий.
Умова:
Дано точки С(-1; 3; 1) і D(-1; -3; 9). Знайдіть множину всіх таких точок N, для яких кут CND:
1) прямий; 2) тупий; 3) гострий.
Відповідь - ГДЗ:
С(-1; 3; 1), D(-1; -3; 9)
1) Нехай т. N - деяка точка простору, N ∉ СD.
Так, як ∠CND прямий, то точка N належить сфері, діаметр якої СD.
Центр цієї сфери - середина відрізка СD, а радіус R = 1/2 CD. \begin{equation} x_{0}=\frac{-1+(-1)}{2}=-1; \end{equation} \begin{equation} y_{0}=\frac{3+(-3)}{2}=0; \end{equation} \begin{equation} z_{0}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5. \end{equation} Q(-1; 0; 5) - середина СD, центр сфери. \begin{equation} CD=\sqrt{(-1-(-1))+(-3-3)^{2}+(9-1)^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{36+64}=10 \end{equation} \begin{equation} R=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\cdot 10=5- \end{equation} радіус сфери.
Складемо рівняння сфери:
(х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25
Отже, множиною точок N, для яких ∠СND = 90° є сфера
(х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25 без точок C і D.
2) Множиною точок N, для яких ∠CND тупий
є точки всередині сфери (х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25;
3) Множиною точок N, для яких ∠CND гострий
є точки поза сферою (х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25.
Відповідь:
1) сфера (х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25 крім т. C і т. D;
2) точки всередині сфери
(х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25 крім діаметра CD;
3) точки поза сферою
(х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25
крім точок прямої CD.
1) Нехай т. N - деяка точка простору, N ∉ СD.
Так, як ∠CND прямий, то точка N належить сфері, діаметр якої СD.
Центр цієї сфери - середина відрізка СD, а радіус R = 1/2 CD. \begin{equation} x_{0}=\frac{-1+(-1)}{2}=-1; \end{equation} \begin{equation} y_{0}=\frac{3+(-3)}{2}=0; \end{equation} \begin{equation} z_{0}=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5. \end{equation} Q(-1; 0; 5) - середина СD, центр сфери. \begin{equation} CD=\sqrt{(-1-(-1))+(-3-3)^{2}+(9-1)^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{36+64}=10 \end{equation} \begin{equation} R=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\cdot 10=5- \end{equation} радіус сфери.
Складемо рівняння сфери:
(х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25
Отже, множиною точок N, для яких ∠СND = 90° є сфера
(х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25 без точок C і D.
2) Множиною точок N, для яких ∠CND тупий
є точки всередині сфери (х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25;
3) Множиною точок N, для яких ∠CND гострий
є точки поза сферою (х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25.
Відповідь:
1) сфера (х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25 крім т. C і т. D;
2) точки всередині сфери
(х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25 крім діаметра CD;
3) точки поза сферою
(х + 1)2 + у2 + (z - 5)2 = 25
крім точок прямої CD.