вправа 19.40 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 19.40
Умова: Дано куб ABCDA1B1C1D1. Побудуйте точку, симетричну точці В1 відносно площини: 1) ВА1С1; 2) ACD1.
Умова: Дано куб ABCDA1B1C1D1. Побудуйте точку, симетричну точці В1 відносно площини: 1) ВА1С1; 2) ACD1.
Відповідь - ГДЗ:
Нехай АВСDА1В1С1D1 - куб, позначимо а - сторона куба.
Діагональ В1D ∩ (ВА1С1) = О.
Тоді В1О - висота тетраедра В1А1С1В, і відносно тоді \begin{equation} B_{1}O=\frac{a}{\sqrt{3}} \end{equation} Діагональ куба B1D = а√3,тоді \begin{equation} \frac{B_{1}D}{B_{1}O}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{a}{\sqrt{3}}}=3, \end{equation} звідки \begin{equation} B_{1}O=\frac{1}{3}B_{1}D. \end{equation} В1О - висота тетраедра В1А1С1В, тому В1О ┴ (А1С1В).
Отже, щоб побудувати точку симетричну т. В1,
відносно площини ВА1С1 необхідно на
діагоналі куба В1D відкласти відрізок \begin{equation} B_{1}K=\frac{2}{3}B_{1}D. \end{equation} При цьому т. К - центр ΔАСD, і основа
висоти DK тетраедра DАСD1.
DК - висота тетраедра DАСD1, тому \begin{equation} DK=\frac{1}{3}B_{1}D. \end{equation} Отже, В1О = DК = ОК
Маємо, що т. К - точка симетрична т. В1,
відносно площини ВА1С1.
Точку К знаходимо, як точку перетину В1D і DМ1 (М - середина АС).
Побудова:
1) АС ∩ ВD = М
2) діагональ В1D
3) D1М - висота ΔАD1С
4) В1D Δ D1М = к.
Точки В1 і К симетричні відносно площини ВА1С1.
2) Так, як DК - висота DАСD1
В1О - висота В1ВА1С1, то \begin{equation} DK=\frac{1}{3}B_{1}D, \end{equation} \begin{equation} B_{1}K=\frac{2}{3}B_{1}D. \end{equation} Продовжимо діагональ В1D і відкладемо
від т. К відрізок КВ = В1К.
Тоді т. В2 - точка симетрична т. В, відносно площини АСD1.
Діагональ В1D ∩ (ВА1С1) = О.
Тоді В1О - висота тетраедра В1А1С1В, і відносно тоді \begin{equation} B_{1}O=\frac{a}{\sqrt{3}} \end{equation} Діагональ куба B1D = а√3,тоді \begin{equation} \frac{B_{1}D}{B_{1}O}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{a}{\sqrt{3}}}=3, \end{equation} звідки \begin{equation} B_{1}O=\frac{1}{3}B_{1}D. \end{equation} В1О - висота тетраедра В1А1С1В, тому В1О ┴ (А1С1В).
Отже, щоб побудувати точку симетричну т. В1,
відносно площини ВА1С1 необхідно на
діагоналі куба В1D відкласти відрізок \begin{equation} B_{1}K=\frac{2}{3}B_{1}D. \end{equation} При цьому т. К - центр ΔАСD, і основа
висоти DK тетраедра DАСD1.
DК - висота тетраедра DАСD1, тому \begin{equation} DK=\frac{1}{3}B_{1}D. \end{equation} Отже, В1О = DК = ОК
Маємо, що т. К - точка симетрична т. В1,
відносно площини ВА1С1.
Точку К знаходимо, як точку перетину В1D і DМ1 (М - середина АС).
Побудова:
1) АС ∩ ВD = М
2) діагональ В1D
3) D1М - висота ΔАD1С
4) В1D Δ D1М = к.
Точки В1 і К симетричні відносно площини ВА1С1.
2) Так, як DК - висота DАСD1
В1О - висота В1ВА1С1, то \begin{equation} DK=\frac{1}{3}B_{1}D, \end{equation} \begin{equation} B_{1}K=\frac{2}{3}B_{1}D. \end{equation} Продовжимо діагональ В1D і відкладемо
від т. К відрізок КВ = В1К.
Тоді т. В2 - точка симетрична т. В, відносно площини АСD1.
