вправа 19.40 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

Відповідь - ГДЗ:

Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб, позначимо а - сторона куба.
Діагональ В₁D ∩ (ВА₁С₁) = О.
Тоді В₁О - висота тетраедра В₁А₁С₁В, і відносно тоді \begin{equation} B_{1}O=\frac{a}{\sqrt{3}} \end{equation} Діагональ куба B₁D = а√3,тоді \begin{equation} \frac{B_{1}D}{B_{1}O}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{a}{\sqrt{3}}}=3, \end{equation} звідки \begin{equation} B_{1}O=\frac{1}{3}B_{1}D. \end{equation} В₁О - висота тетраедра В₁А₁С₁В, тому В₁О ┴ (А₁С₁В).
Отже, щоб побудувати точку симетричну т. В₁,
відносно площини ВА₁С₁ необхідно на
діагоналі куба В₁D відкласти відрізок \begin{equation} B_{1}K=\frac{2}{3}B_{1}D. \end{equation} При цьому т. К - центр ΔАСD, і основа
висоти DK тетраедра DАСD₁.
DК - висота тетраедра DАСD₁, тому \begin{equation} DK=\frac{1}{3}B_{1}D. \end{equation} Отже, В₁О = DК = ОК
Маємо, що т. К - точка симетрична т. В₁,
відносно площини ВА₁С₁.
Точку К знаходимо, як точку перетину В₁D і DМ₁ (М - середина АС).



Побудова:
1) АС ∩ ВD = М
2) діагональ В₁D
3) D₁М - висота ΔАD₁С
4) В₁D Δ D₁М = к.
Точки В₁ і К симетричні відносно площини ВА₁С₁.
2) Так, як DК - висота DАСD₁
В₁О - висота В₁ВА₁С₁, то \begin{equation} DK=\frac{1}{3}B_{1}D, \end{equation} \begin{equation} B_{1}K=\frac{2}{3}B_{1}D. \end{equation} Продовжимо діагональ В₁D і відкладемо
від т. К відрізок КВ = В₁К.
Тоді т. В₂ - точка симетрична т. В, відносно площини АСD₁.