вправа 3.52 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 3.52
Дано дві мимобіжні прямі а і b та пряму с, що перетинає як пряму а, так і пряму b. Доведіть, що будь-яка пряма, паралельна прямій с, є мимобіжною принаймні з однією з прямих а або b.
Дано дві мимобіжні прямі а і b та пряму с, що перетинає як пряму а, так і пряму b. Доведіть, що будь-яка пряма, паралельна прямій с, є мимобіжною принаймні з однією з прямих а або b.
Умова:
Відповідь:
Нехай а, b, с - прямі с ∩ а, с ∩ b, а і b - мимобіжні.
Доведемо, що пряма паралелограма С є мимобіжною хоча б одній із прямих а або b.
Доведення
Побудуємо через прямі а і с площину α, тоді а ⊂ α, с ⊂ α.
Побудуємо через b і с площину β, тоді b ⊂ β, с ⊂ β, α ∩ β = с.
Нехай m - пряма, m ⊂ α, m║с, m ∩ а.
Так як α ∩ β = с, то m ∩ b, тобто m мимобіжна з b.
Аналогічно побудуємо пряму l таку, що l ⊂ бетта, l║с, l ∩ b.
Так як α ∩ β = с, то l ∩ а, отже l мимобіжна з а.
Побудуємо пряму n таку, що n║с, n ⊄ α, n ⊄ β,
тоді n ∩ а, n ∩ b, n буде мимобіжною до а і до b.