вправа 3.54 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

Вправа 3.54
QABC - тетраедр, точки M₁, М₂, М₃, М₄, М₅, М₆ - середини ребер AQ, АВ, ВС, CQ, QB і АС відповідно. Яким є взаємне розміщення прямих:
1) AQ і ВС; 2) М₁М₅ і ВС; 3) М₂М₅ і М₃М₄; 4) М₃М₄ і М₁М₅;
5) М₂М₄ і М₁М₅; 6) М₂С і М₃М₆; 7) М₁М₂ і М₅М₆; 8) М₅М₆ і М₂М₄?

Умова:

Відповідь: вправа 3.54 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

1) AQ і ВС - мимобіжні, так як AQ ∩ (CQB) = Q і а ∉ ВС;
2) М₁М₅ і ВС - мимобіжні, так як М₁М₆ - середня лінія ΔAQB, тоді
М₁М₅║АВ, СВ ∩ AQB = В, і В ∉ М₁М₅;
3) М₃М₄ - середня лінія ΔQCB, тому М₃М₄║QB.
М₂М₅ ⊂ (AQB), (AQB) ∩ (CQB) = QB, M₂M₅ ∩ QB = M₅, M₅ ∉ М3М4.
За ознакою мимобіжності М₃М₄ і М₂М₅ - мимобіжні;
5) М₂М₄ і М₁М₅ - мимобіжні М₁М₅║АВ, М₁М₅ ⊂ (AQB), M₂M₄ ∩ АВ = М₂,
тому М₂М₄ ∩ (AQB) = М₂, М₂ ∉ М₁М₅.
За ознакою мимобіжності М₂М₄ і М₁М₅ - мимобіжні;
6) М₂С і М₃М₆ - перетинаються.
М₂С ⊂ (АВС), М₃М₆ ⊂ (АВС), М₃М₆ - середня лінія ΔАВС, тому М₃М₆║АВ.
СМ₂ - медіана ΔАВС, СМ₂ ∩ АВ = М₂.
Тому СМ₂ ∦ М₃М₆, а отже СМ₂ ∩ М₃М₆;
7) М₁М₂ і М₅М₆ - мимобіжні.
М₁М₂, М₅ належать площині QAB, причому М₅ ∉ М₁М₂.
М₅М₆ ⊄ (QAB), М₅М₆ ∩ (QAB) = М₅.
За ознакою мимобіжності М₁М₂ і М₅М₆ - мимобіжні;
8) М₅М₆ і М₂М₄ - перетинаються, М₄М₆ - середня лінія ΔQAC, тому М₄М₆║AQ.
за ознакою паралельності прямих М4М6║М2М5.
Отже, М₄М₆, М₂М₅ лежать в одній площині, тому М₅М₆ ∩ М₂М₄.