вправа 3.54 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 3.54
QABC - тетраедр, точки M1, М2, М3, М4, М5, М6 - середини ребер AQ, АВ, ВС, CQ, QB і АС відповідно. Яким є взаємне розміщення прямих:
1) AQ і ВС; 2) М1М5 і ВС; 3) М2М5 і М3М4; 4) М3М4 і М1М5;
5) М2М4 і М1М5; 6) М2С і М3М6; 7) М1М2 і М5М6; 8) М5М6 і М2М4?
QABC - тетраедр, точки M1, М2, М3, М4, М5, М6 - середини ребер AQ, АВ, ВС, CQ, QB і АС відповідно. Яким є взаємне розміщення прямих:
1) AQ і ВС; 2) М1М5 і ВС; 3) М2М5 і М3М4; 4) М3М4 і М1М5;
5) М2М4 і М1М5; 6) М2С і М3М6; 7) М1М2 і М5М6; 8) М5М6 і М2М4?
Умова:
Відповідь:
1) AQ і ВС - мимобіжні, так як AQ ∩ (CQB) = Q і а ∉ ВС;
2) М1М5 і ВС - мимобіжні, так як М1М6 - середня лінія ΔAQB, тоді
М1М5║АВ, СВ ∩ AQB = В, і В ∉ М1М5;
3) М3М4 - середня лінія ΔQCB, тому М3М4║QB.
М2М5 ⊂ (AQB), (AQB) ∩ (CQB) = QB, M2M5 ∩ QB = M5, M5 ∉ М3М4.
За ознакою мимобіжності М3М4 і М2М5 - мимобіжні;
5) М2М4 і М1М5 - мимобіжні М1М5║АВ, М1М5 ⊂ (AQB), M2M4 ∩ АВ = М2,
тому М2М4 ∩ (AQB) = М2, М2 ∉ М1М5.
За ознакою мимобіжності М2М4 і М1М5 - мимобіжні;
6) М2С і М3М6 - перетинаються.
М2С ⊂ (АВС), М3М6 ⊂ (АВС), М3М6 - середня лінія ΔАВС, тому М3М6║АВ.
СМ2 - медіана ΔАВС, СМ2 ∩ АВ = М2.
Тому СМ2 ∦ М3М6, а отже СМ2 ∩ М3М6;
7) М1М2 і М5М6 - мимобіжні.
М1М2, М5 належать площині QAB, причому М5 ∉ М1М2.
М5М6 ⊄ (QAB), М5М6 ∩ (QAB) = М5.
За ознакою мимобіжності М1М2 і М5М6 - мимобіжні;
8) М5М6 і М2М4 - перетинаються, М4М6 - середня лінія ΔQAC, тому М4М6║AQ.
за ознакою паралельності прямих М4М6║М2М5.
Отже, М4М6, М2М5 лежать в одній площині, тому М5М6 ∩ М2М4.