вправа 3.62 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

Вправа 3.62
Точка D не лежить у площині трикутника ABC, М₁ - центроїд трикутника ABC, M₂ - центроїд трикутника DBC.
1) Визначте взаємне розміщення прямих DМ₁ і АМ₂.
2) У якому відношенні, рахуючи від точки D, пряма AM₂ ділить відрізок DM₁?

Умова:

Відповідь: вправа 3.62 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

Нехай D ∉ (АВС). М₁ - центроїд ΔАВС, М₂ - центрад ΔDBC (дивись малюнок).
1) DМ₂ ∩ ВС = 0, АМ₁ ∩ ВС = 0, де т. О - середина ВС, тоді DМ₂ ∩ АМ₁ = 0.
Отже, через DМ₂ і АМ₁ можна провести площину α.
Так як М₁ і М₂ - центроїд відповідних трикутників ΔАВС і DВС, то
DМ₂/ОМ₂ = 2/1; АМ₁/ОМ₁ = 2/1.
По теоремі оберненій теореми про пропорційні відрізки М₁М₂║АD.
Тоді M₁D ∩ АМ₂ так як ці прямій належать одній площині і не паралельні.
2) Так як М₁М₂║AD, то М₁М₂DA - трапеція.
Розглянемо ΔМ₁М₂К і ΔADK, в них ∠AKD = ∠М₁КМ₂ - вертикальні,
∠ADK = ∠М₂М₁К - нахрест лежачі при паралельних прямих і січній, тому
ΔМ₁М₂К ~ ΔMDK.
Із подібності: DK/КМ₁ = АD/М₁М₂
ΔМ₁ОМ₂ ~ ΔАОD (за двома кутами), тому OD/ОМ₂ = AD/М₁М₂.
Так як М₂ - центроїд, то
OD = DM₂ + ОМ₂ = 3ОМ₂, тоді
AD/М₁М₂ = ОМ₂/3ОМ₂, звідки AD/М₁М₂ = DK/КМ₁ = 3/1.
Відповідь: 2) 3 : 1