вправа 3.62 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 3.62
Точка D не лежить у площині трикутника ABC, М1 - центроїд трикутника ABC, M2 - центроїд трикутника DBC.
1) Визначте взаємне розміщення прямих DМ1 і АМ2.
2) У якому відношенні, рахуючи від точки D, пряма AM2 ділить відрізок DM1?
Точка D не лежить у площині трикутника ABC, М1 - центроїд трикутника ABC, M2 - центроїд трикутника DBC.
1) Визначте взаємне розміщення прямих DМ1 і АМ2.
2) У якому відношенні, рахуючи від точки D, пряма AM2 ділить відрізок DM1?
Умова:
Відповідь:
Нехай D ∉ (АВС). М1 - центроїд ΔАВС, М2 - центрад ΔDBC (дивись малюнок).
1) DМ2 ∩ ВС = 0, АМ1 ∩ ВС = 0, де т. О - середина ВС, тоді DМ2 ∩ АМ1 = 0.
Отже, через DМ2 і АМ1 можна провести площину α.
Так як М1 і М2 - центроїд відповідних трикутників ΔАВС і DВС, то
DМ2/ОМ2 = 2/1; АМ1/ОМ1 = 2/1.
По теоремі оберненій теореми про пропорційні відрізки М1М2║АD.
Тоді M1D ∩ АМ2 так як ці прямій належать одній площині і не паралельні.
2) Так як М1М2║AD, то М1М2DA - трапеція.
Розглянемо ΔМ1М2К і ΔADK, в них ∠AKD = ∠М1КМ2 - вертикальні,
∠ADK = ∠М2М1К - нахрест лежачі при паралельних прямих і січній, тому
ΔМ1М2К ~ ΔMDK.
Із подібності: DK/КМ1 = АD/М1М2
ΔМ1ОМ2 ~ ΔАОD (за двома кутами), тому OD/ОМ2 = AD/М1М2.
Так як М2 - центроїд, то
OD = DM2 + ОМ2 = 3ОМ2, тоді
AD/М1М2 = ОМ2/3ОМ2, звідки AD/М1М2 = DK/КМ1 = 3/1.
Відповідь: 2) 3 : 1