вправа 3.64 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 3.64
Трикутник ABC і площина а не мають спільних точок. Точка N - середина АС, точка М - центроїд трикутника. Через точки А, В, С, N і М проведено паралельні прямі, що перетинають площину а у точках A1, B1, C1, N1 і M1 відповідно. Знайдіть КК1 і CC1, якщоАА1 = 9 см, ВВ1 = 11 см, ММ1 = 7 см.
Трикутник ABC і площина а не мають спільних точок. Точка N - середина АС, точка М - центроїд трикутника. Через точки А, В, С, N і М проведено паралельні прямі, що перетинають площину а у точках A1, B1, C1, N1 і M1 відповідно. Знайдіть КК1 і CC1, якщоАА1 = 9 см, ВВ1 = 11 см, ММ1 = 7 см.
Умова:
Відповідь:
Нехай ΔАВС ⊄ α, К - середина АС, М - центроїд ΔАВС. АА1║ММ1║СС1║ВВ1║КК1, АА1 ∩ α = А1, ВВ1 ∩ α = В1,
СС1 ∩ α = С1, КК1 ∩ α = К1, ММ1 ∩ α = М1.
АА1 = 9 см, ВВ1 = 11 см, ММ1 = 7 см.
Знайдемо КК1 і СС1.
Розв'язання
Так як М - центроїд, то МВ/МК = 2/1, отже М1В1/М1К1 = 2/1.
Розглянемо трапецію КВВ1К1.
Проведемо висоти KF і K1F1, KF ∩ ММ1 = Е, K1F1 ∩ ММ1 = Е1.
ΔКЕМ ~ ΔKFB (за двома кутами), тоді МЕ/BF = КМ/КВ, так як М - центроїд,
то КМ/КВ = 1/3, отже МЕ/BF = 1/3, тобто BF = 2МЕ.
Аналогічно, ΔК1Е1М1 ΔК1F1В1 (за двома кутами),
тоді М1Е1/В1F1 = К1М1/К1В1 = 1/3, отже В1F1 = 3М1Е1.
KFF1K1 - прямокутник, тому KF1 = FF1.
Так як ММ1 = 7 см, то КК1 = ММ1 - МЕ - М1Е1 = 7 - (МЕ + М1Е1).
FF1 = ВВ1 - FB - F1B1 = 11 - 3МЕ - 3М1Е1 = 11 - 3(МЕ + М1Е1).
Складемо рівняння:
7 - (МЕ + М1Е1) = 11 - 3(МЕ + М1Е1)
2(МЕ + М1Е1) = 4
МЕ + М1Е1 = 2
Тоді КК1 = 7 - 2 = 5 (см)
Розглянемо трапецію АА1С1С, КК1 - середня лінія, тому
КК1 = 1/2(АА1 + СС1), звідки
СС1 = 2КК1 - АА1
СС1 = 2 • 5 - 9
СС1 = 1 (см).
Відповідь: КК1 = 5 см, СС1 = 1 см.
