вправа 3.64 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

Умова:

Відповідь:



Нехай ΔАВС ⊄ α, К - середина АС, М - центроїд ΔАВС.
АА₁║ММ₁║СС₁║ВВ₁║КК₁, АА₁ ∩ α = А₁, ВВ₁ ∩ α = В₁,
СС₁ ∩ α = С₁, КК₁ ∩ α = К₁, ММ₁ ∩ α = М₁.
АА₁ = 9 см, ВВ₁ = 11 см, ММ₁ = 7 см.
Знайдемо КК₁ і СС₁.
Розв'язання
Так як М - центроїд, то МВ/МК = 2/1, отже М₁В₁/М₁К₁ = 2/1.
Розглянемо трапецію КВВ₁К₁.
Проведемо висоти KF і K₁F₁, KF ∩ ММ₁ = Е, K₁F₁ ∩ ММ₁ = Е₁.
ΔКЕМ ~ ΔKFB (за двома кутами), тоді МЕ/BF = КМ/КВ, так як М - центроїд,
то КМ/КВ = 1/3, отже МЕ/BF = 1/3, тобто BF = 2МЕ.
Аналогічно, ΔК₁Е₁М₁ ΔК₁F₁В₁ (за двома кутами),
тоді М₁Е₁/В₁F₁ = К₁М₁/К₁В₁ = 1/3, отже В₁F₁ = 3М₁Е₁.
KFF₁K₁ - прямокутник, тому KF₁ = FF₁.
Так як ММ₁ = 7 см, то КК₁ = ММ₁ - МЕ - М₁Е₁ = 7 - (МЕ + М₁Е₁).
FF₁ = ВВ₁ - FB - F₁B₁ = 11 - 3МЕ - 3М₁Е₁ = 11 - 3(МЕ + М₁Е₁).
Складемо рівняння:
7 - (МЕ + М₁Е₁) = 11 - 3(МЕ + М₁Е₁)
2(МЕ + М₁Е₁) = 4
МЕ + М₁Е₁ = 2
Тоді КК₁ = 7 - 2 = 5 (см)
Розглянемо трапецію АА₁С₁С, КК₁ - середня лінія, тому
КК₁ = 1/2(АА₁ + СС₁), звідки
СС₁ = 2КК₁ - АА₁
СС₁ = 2 • 5 - 9
СС₁ = 1 (см).
Відповідь: КК₁ = 5 см, СС₁ = 1 см.