вправа 4.46 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 4.46
Точка L нe лежить у площині трикутника ABC. На відрізках LC, ВС і ВА позначено точки Е, F і G відповідно так, що LE : ЕС = BF : FC = BG : GA = 1 : 2.
1) Доведіть, що BL║(EFG).
2) Яким є взаємне розміщення прямої АС і площини EFG?
3) Побудуйте точку Н - точку перетину площини EFG і прямої AL.
4) Знайдіть PEFGH, якщо АС = 9 cм, SL = 15 см.
Точка L нe лежить у площині трикутника ABC. На відрізках LC, ВС і ВА позначено точки Е, F і G відповідно так, що LE : ЕС = BF : FC = BG : GA = 1 : 2.
1) Доведіть, що BL║(EFG).
2) Яким є взаємне розміщення прямої АС і площини EFG?
3) Побудуйте точку Н - точку перетину площини EFG і прямої AL.
4) Знайдіть PEFGH, якщо АС = 9 cм, SL = 15 см.
Умова:
Відповідь:
1) Так як Е ∈ LC, F ∈ ВС, то EF належить площині ΔLCB.
Прямі BL і EF перетинають ∠LCB і відтинають на його сторонах пропорційні відрізки.
За теоремою оберненою до теореми про пропорційні відрізки EF║BL.
За ознакою паралельності прямої і площини BL║(EFG).
2) АС || (EFG). Доведення аналогічно до 1)
GF ⊂ (АВС), АС і GF відтинають на сторонах ∠АВС пропорційні відрізки,
тому за теоремою оберненої до теореми про пропорційні відрізки АС║GF.
За ознакою паралельності прямої і площини АС║(EFG).
3)
ЕН║АС║GF
Припустимо ЕН не паралельно АС, тоді ЕН ∩ АС = М.
Але переріз EFG ∩ АВС = FG, причому FG║АС.
Виходе, що т. М ∈ (EFG) і т. М ∈ АС, отже т. М = GF ∩ АС, що протирічить АС║GF.
Тому ЕН║АС║GF.
За теоремою про пропорційні відрізки так як НЕ║АС, LE : ЕС = 1 : 2, то LM : НА = 1 : 2.
3) Якщо ЕН║АС, то ΔALC ~ ΔHLE за двома кутами,
тоді LC/LE = АС/НЕ.
Нехай LE = х, тоді LC = LE + EC = x + 2x = 3x
3х/х = 9/НЕ; НЕ = 3 (см).
Розглянемо ΔBCL і ΔFCE.
ΔBCL ~ ΔFCE за двома кутами, тоді ВС/FC = BL/EF.
Нехай BF = у, тоді ВС = BF + FC = у + 2у = 3у
3у/2у = 15/EF; EF = 10 (см).
EFGH - паралелограм, тому
РEFGH = 2(НЕ + EF) = 2 • (3 + 10) = 26 (см).
Відповідь: 2) АС║(EFG); 3) Н ∈ AL, LH : НА = 1 : 2; 26 см