вправа 4.56 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 4.56
QABC - правильний тетраедр, ребро якого дорівнює 8 см. Через вершину А тетраедра паралельно ребру ВС проведено переріз.
1) Скільки таких перерізів можна провести?
2) Яку фігуру являє собою цей переріз?
3) Знайдіть площу того з можливих перерізів, який проходить через середину ребра QB.
QABC - правильний тетраедр, ребро якого дорівнює 8 см. Через вершину А тетраедра паралельно ребру ВС проведено переріз.
1) Скільки таких перерізів можна провести?
2) Яку фігуру являє собою цей переріз?
3) Знайдіть площу того з можливих перерізів, який проходить через середину ребра QB.
Умова:
Відповідь:
1) Вибиремо на прямій QB довільну т. L і проведемо пряму LM паралельно ВС.
Побудуємо переріз ALM, ВС║(ALM).
В силу того, що L - довільна точка відрізка QB прямих, які паралельні до ВС буде безліч.
А отже і перерізів, що проходять через вершину А паралельно ВС безліч.
2) ΔQBC ~ ΔQLM (за двома кутами, ∠Q - спільний, ∠QBC = ∠QLM).
Так як QАВС - правильний тетраедр, то QB = QC, тоді QL = QM (із пропорційності QB/QL = QC/QM).
Розглянемо ΔAQL і ΔAQM.
Так як QАВС - правильний тетраедр, то ∠AQL = ∠AQM, AQ - спільна сторона QL = QM.
Отже, ΔAQL = ΔAQM за І ознакою рівності трикутників.
Тоді AL = АМ.
Отже, переріз ALM представляє собою рівнобедренний трикутник.
3) Нехай т. L - середина QB, тоді М - середина QC, LM - середня лінія ΔQBC.
LM = 1/2ВС = 1/2 • 8 = 4
QL = QM = 1/2QB = 4
Розглянемо ΔABQ - рівносторонній, L - середина QB, тоді AL - медіана, а отже і висота.
Із ΔALQ (∠L = 90°)
AL = √AQ2 - QL2
AL = √82 - 42 = √48 = 4√3
Розглянемо ΔALM.
Нехай AN - висота, тоді вона медіана.
Із ΔANL:
AN = √AL2 - LN2
LN = 1/2LM = 1/2 • 4 = 2 (cм)
AN = √48 - 4 = √44 = 2√11 (см)
SΔALM = 1/2AN • LM
SΔALM = 1/2 • 2√11 • 4 = 4√11 (см).
Відповідь: 1) безліч; 2) рівнобедренний трикутник; 3) 4√11 см