вправа 5.22 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 5.22
Площини α і β перетинаються. Точка М не належить жодній з них. Доведіть, що будь-яка площина, що проходить через точку М, перетинає принаймні одну з площин α або β.
Площини α і β перетинаються. Точка М не належить жодній з них. Доведіть, що будь-яка площина, що проходить через точку М, перетинає принаймні одну з площин α або β.
Умова:
Відповідь:
Нехай α ∩ β = l, т. М ∉ α, М ∉ β. Припустимо, що через т. М можна провести площину γ паралельну α і β, тобто γ║α, γ║β.
Нехай А - деяка точка прямої l, тобто А ∈ l.
Тоді через т. А проходе дві площини α і β паралельні плошині γ,
що суперечить теоремі про існування площин паралельної даній.
Отже, через т. М не можна провести площину паралельну площинам α і β одночасно.
За теоремою про існування площини паралельної даній
через т. М можна провести площину γ║α (або γ║β), тоді γ буде перетинати площину β (площину α).
Тобто γ перетинає одну з площин α або β.
Нехай α ∩ β = l, тоді через т. М і пряму l проведемо площину γ,
яка перетинає одночасно α і β, тобто γ ∩ α = l, γ ∩ β = l.
Отже, площина, що проходе через т. М перетинає хоча б одну з площин α або β.
