вправа 5.56 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 5.56
Точка N належить ребру B1C1 куба ABCDA1B1C1D1, причому B1N : NC1 = 1 : 2.
1) Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через точку N паралельно площині B1D1C.
2) Знайдіть периметр перерізу, якщо довжина ребра куба дорівнює 15 см.
Точка N належить ребру B1C1 куба ABCDA1B1C1D1, причому B1N : NC1 = 1 : 2.
1) Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через точку N паралельно площині B1D1C.
2) Знайдіть периметр перерізу, якщо довжина ребра куба дорівнює 15 см.
Умова:
Відповідь:
1. 1) Через т. N в площині А1В1С1 пряма NM, NM║D1B1, MN ∩ D1C1 = M.
2) Через т. М в площині C1D1C пряма МК, МК║D1C, МК ∩ СС1 = К.
3) Пряма NK, NK ⊂ СВВ1
ΔNMK - шуканий переріз.
2. ΔВ1С1D1 ~ ΔNC1M (за двома кутами).
Із подібності трикутників:
С1В/С1N = D1В1/MN
Так як B1N : NC1 = 1 : 2, то прийнявши B1N = х,
маємо NC1 = 2x, С1В1 = х + 2х = 3х.
Так як ABCDA1B1C1D1 - куб, то A1B1C1D1 - квадрат,
тоді D1B1 = В1С1√2 = 15√2.
3х/2х = 15√2/MN, звідки MN = 10√2
Так як ΔС1МN = ΔC1NK = ΔС1КМ,
то МК = KN = MN = 10√2.
РMNK = 3 • MN = 3 • 10√2 = 30√2 (см).
Відповідь: 2) 30√2 см
2. ΔВ1С1D1 ~ ΔNC1M (за двома кутами).
Із подібності трикутників:
С1В/С1N = D1В1/MN
Так як B1N : NC1 = 1 : 2, то прийнявши B1N = х,
маємо NC1 = 2x, С1В1 = х + 2х = 3х.
Так як ABCDA1B1C1D1 - куб, то A1B1C1D1 - квадрат,
тоді D1B1 = В1С1√2 = 15√2.
3х/2х = 15√2/MN, звідки MN = 10√2
Так як ΔС1МN = ΔC1NK = ΔС1КМ,
то МК = KN = MN = 10√2.
РMNK = 3 • MN = 3 • 10√2 = 30√2 (см).
Відповідь: 2) 30√2 см