вправа 5.63 гдз 10 клас геометрія Істер 2018

Умова:

Відповідь:



Нехай NАВС - правильний тетраедр,
т. L - точка перетину бісектрис ΔАВС, т. Т - середина NL, АВ = 8 см.
Так як т. L - точка перетину бісектрис, то т. L - центр вписаного кола в ΔАВС.
Нехай LK - радіус цього кола.
Проведемо площину α, α║LK, тоді ТР - радійс вписаного кола в ΔА₁В₁С₁.
ΔNLK ~ ΔNTP за двома кутами, тоді LK/TP = LN/NT.
Із ΔАВС LK = АВ/2√3 (за формулою радіуса вписаного кола r = Q/2√3)
LK = 8/2√3 = 4/√3
Так як т. Т - середина NL, то LN = 2NT, тоді
4/√3ТР = 2NT/NT, звідки ТР = 2/√3
Із ΔА₁В₁С₁ знайдемо сторону а = 2√3r,
де а - сторона трикутника, r - радіус вписаного кола.
А₁В₁ = 2√3 • ТР = 2√3 • 2/√3 = 4 (см)
Так як ΔА₁В₁С₁ - рівносторонній , то S = 1/4а²√3;
S = 1/4 • А₁В₁²√3 = 1/4 • 16 • √3 = 4√3 (см²).
Выдповыдь: 4√3 см²