вправа 5.66 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 5.66
Пряма АВ перетинає паралельні площини α, β і γ відповідно в точках А, В і С. Пряма AL перетинає площини β і γ відповідно в точках К і L. Знайдіть KL, якщо АС = 4 дм, ВС = 1 дм, АК = 15 дм.
Пряма АВ перетинає паралельні площини α, β і γ відповідно в точках А, В і С. Пряма AL перетинає площини β і γ відповідно в точках К і L. Знайдіть KL, якщо АС = 4 дм, ВС = 1 дм, АК = 15 дм.
Умова:
Відповідь:
Нехай АВ - пряма, α, β і γ - паралельны площини, АВ ∩ α = А,
АВ ∩ β = В, АВ ∩ γ = С, АL - пряма, AL ∩ β = К, AL ∩ γ = L.
АС = 4 дм, ВС = 1 дм, АК = 15 дм.
Знайдемо KL.
Можливо два варіанти розташування площин:
1)
Проведемо площину (ACL) через прямі АС і AL, тоді ВК║CL.
ΔАВК ~ ΔACL за двома кутами
(∠А - спільний, ∠АВК - ∠ACL - відповідні при паралельних прямих ВК і CL і січній АВ).
Із подібності трикутників:
АВ/АС = АК/AL
Нехай KL = х, тоді АL = АК + AL = 15 + х
3/4 = 15/(15+х)
3(15 + х) = 60
45 + 3х = 60
х = 5 (дм)
Отже, KL = 5 дм.
2)
Проведемо площину (АВК) через АК і АВ, тоді CL║ВК.
ΔACL ~ ΔАВК за двома кутами.
Із подібності трикутників: АВ/АС = АК/AL
Нехай KL = у,
тоді AL = AK - KL = 15 - у,
АВ = АС + ВС = 4 + 1 = 5 (дм)
5/4 = 15/(15-у)
5(15 - у) = 60
75 - 5у = 60
у = 3
Отже, KL = 3 дм.
Відповідь: 3 дм або 5 дм