вправа 1.30 гдз 10 клас геометрія Істер 2018
Вправа 1.30
Прямі а і b перетинаються в точці К. Доведіть, що всі прямі, які не проходять через точку К і перетинають обидві ці прямі, лежать в одній площині.
Прямі а і b перетинаються в точці К. Доведіть, що всі прямі, які не проходять через точку К і перетинають обидві ці прямі, лежать в одній площині.
Умова:
Відповідь:
За теоремою про існування і єдиність площини, яка проходить через дві прямі, що перетинаються: прямі а і в належать одній площині (наприклад, площині альфа). Проведемо будь-які дві прямі (наприклад, с і n), які не проходять через точку К і перетинають обидві прямі а і в.
За теоремою про існівання і єдиність площини, що проходить через пряму і точку, що ій не належить. Через пряму с і точку К можна провести площику і тільки одну; а оскільки а ∩ с, в ∩ с, а ⊂ α, в ⊂ α, то за теоремою про існування і єдиність площини, яка проходить через дві прямі, що перетинаються, с ⊂ α.
Міркуючи аналогічно, можна дійти висновку, що n ⊂ α.
Отже, всі прямі, які не проходять через точку К і перетинають обидві прямі а і в, дежать в одній площині.
За теоремою про існівання і єдиність площини, що проходить через пряму і точку, що ій не належить. Через пряму с і точку К можна провести площику і тільки одну; а оскільки а ∩ с, в ∩ с, а ⊂ α, в ⊂ α, то за теоремою про існування і єдиність площини, яка проходить через дві прямі, що перетинаються, с ⊂ α.
Міркуючи аналогічно, можна дійти висновку, що n ⊂ α.
Отже, всі прямі, які не проходять через точку К і перетинають обидві прямі а і в, дежать в одній площині.