ТКР-1 гдз математика (геометрія) 10 клас Істер 2018
10 клас ➠ математика ➠ Істер
Тематично - контрольна робота № 1
Варіант 1
✔ 1. АВСDА1В1С1D1 - прямокутний паралелепіпед. Яке взаємне розміщення прямих СD і АА1?
CD і АА1 мимобіжні, бо лежать в різних гранях.
Відповідь: В
✔ 2. АВСDА1В1С1D1 - прямокутний паралелепіпед. Укажіть пряму, яка перетинає площину А1В1С1.
DD1 ∩ А1В1С1
Відповідь: Г
✔ 3. Точка А0, В0, С0 лежать на одній прямій. Точки А, В, С - паралельні проекції точок А0, В0, С0 на площину β. Знайдіть відношення ВС : ВА, якщо А0В0 = 18 см, В0С0 = 6 см.
ВС/ВА = В0С0/В0А0 = 6/18 = 1/3
Відповідь: Б
✔ 4. QKLM - тетраедр, точка А належить ребру КQ, точка В - ребру ML. Укажіть: 1) пряму перетину площин QLM і KBQ; 2) площину, що проходить через прямі AL і KQ.
1)
QB ⊂ (KBQ)
т. В ∈ LM, LM ⊂ (QLM), тоді QB ⊂ (QLM).
Отже, (QLM) ∩ (КВQ) = QB.
2)
AL ⊂ (QLK)
KQ ⊂ (QLK)
тоді площина (QLK) проходе через прямі АL KQ.
Відповідь: 1) QB; 2) (QLK)
✔ 5. Пряма MN, яка не лежить у площині квадрата АВСD, паралельна стороні СD цього квадрата. Яким є взаємне розміщення прямих: 1) MN і АВ; 2) МА і CD?
1) AB║CD так, як ABCD - квадрат
MN║CD за умовою, тоді AB║MN за ознакою паралельності прямих.
2) CD ⊂ (ABC)
МА ∩ (АВС) = М, М ∉ CD
За ознакою мимобіжнсоті прямих МА і CD мимобіжні.
Відповідь: 1) АВ║MN; 2) МА і CD мимобіжні
✔ 6. Точка К лежить між паралельними площина α і γ. Через цю точку проведено прямі m і n. Пряма m перетинає площини α і γ в точках А1 і С1, а пряма n - у точках А2 і С2 відповідно, А1А1 = С1С2 = 10 см. Знайдіть С2К.
Так, як α || γ, m ∩ α = А1, m ∩ γ = С1, n ∩ α = А2, n ? γ = С2, то А1А2║С1С2.
Тоді ∠КС1С2 = ∠КА1А2, ∠КС2С1 = ∠КА2А1 - різносторонні кути паралельних прямих і січній.
Крім того, А1А2 = С1С2, отже ΔА1КА2 = ΔС1КС2 (за стороною і двом прилеглим кутам).
Із рівності трикутників:
С2К = А2К = 10 см.
Відповідь: 10 см
✔ 7. Площина α паралельна стороні ВС триктуника BCD та перетинає сторони ВD і СD в точках В1 і С1 відповідно. Знайдіть довжину сторони СD, якщо В1С1 = 2 см, ВС = 8 см, СС1 = 3 см.
Так, як α║ВС, то В1С1║ВС.
Тоді ∠DВ1С1 = ∠DВС, ∠DС1В1 = ∠DС2В2 як односторонні при паралельних прямих і січній.
ΔDВС ~ ΔDВ1С1 за двома кутами, тоді DС1/DС = В1С1/ВС, DС = DС1 + С1С,
DС1/(DС1+3) = 2/8, звідки
8DС1 = 2DС1 + 6
6DС1 = 6, DС1 = 1 (см)
Тоді DС = 1 + 3 = 4 (см).
Відповідь: 4 см
✔ 8. Скільки площин можна провести через точки А, В і С, якщо:
1) АВ = 17 мм, ВС = 0,2 дм, АВ = 3 см;
2) АВ = 2 см, ВС = 30 мм, АС = 0,5 дм?
1) Нехай АВ = 17 мм = 1,7 см, ВС = 0,2 дм = 2 см, АС = 3 см.
Так, як
АВ + ВС > АС
АВ + АС > ВС
ВС + АС > АС, то
точки А, В, С утворюють триктуник, тобто не лежать на одній прямій.
Через 3 точки, що не лежать на одній прямій можна провести площину і лише одну.
2) Нехай АВ = 2 см, ВС = 30 мм = 3 см, АС = 0,5 дм = 5 см, тоді АС = АВ + ВС.
Отже, точки А, В, С лежать на одній прямій.
Візьмемо т. D ∉ АС, через т. D і АС проведемо площину α.
В силу того, що т. D - будь - яка точка простору, маємо що існує
безліч площин, які проходять через т. А, В, С.
Відповідь: 1) одну; 2) безліч.
CD і АА1 мимобіжні, бо лежать в різних гранях.
Відповідь: В
✔ 2. АВСDА1В1С1D1 - прямокутний паралелепіпед. Укажіть пряму, яка перетинає площину А1В1С1.
DD1 ∩ А1В1С1
Відповідь: Г
✔ 3. Точка А0, В0, С0 лежать на одній прямій. Точки А, В, С - паралельні проекції точок А0, В0, С0 на площину β. Знайдіть відношення ВС : ВА, якщо А0В0 = 18 см, В0С0 = 6 см.
ВС/ВА = В0С0/В0А0 = 6/18 = 1/3
Відповідь: Б
✔ 4. QKLM - тетраедр, точка А належить ребру КQ, точка В - ребру ML. Укажіть: 1) пряму перетину площин QLM і KBQ; 2) площину, що проходить через прямі AL і KQ.
1)
QB ⊂ (KBQ)
т. В ∈ LM, LM ⊂ (QLM), тоді QB ⊂ (QLM).
Отже, (QLM) ∩ (КВQ) = QB.
2)
AL ⊂ (QLK)
KQ ⊂ (QLK)
тоді площина (QLK) проходе через прямі АL KQ.
Відповідь: 1) QB; 2) (QLK)
✔ 5. Пряма MN, яка не лежить у площині квадрата АВСD, паралельна стороні СD цього квадрата. Яким є взаємне розміщення прямих: 1) MN і АВ; 2) МА і CD?
1) AB║CD так, як ABCD - квадрат
MN║CD за умовою, тоді AB║MN за ознакою паралельності прямих.
2) CD ⊂ (ABC)
МА ∩ (АВС) = М, М ∉ CD
За ознакою мимобіжнсоті прямих МА і CD мимобіжні.
Відповідь: 1) АВ║MN; 2) МА і CD мимобіжні
✔ 6. Точка К лежить між паралельними площина α і γ. Через цю точку проведено прямі m і n. Пряма m перетинає площини α і γ в точках А1 і С1, а пряма n - у точках А2 і С2 відповідно, А1А1 = С1С2 = 10 см. Знайдіть С2К.
Так, як α || γ, m ∩ α = А1, m ∩ γ = С1, n ∩ α = А2, n ? γ = С2, то А1А2║С1С2.
Тоді ∠КС1С2 = ∠КА1А2, ∠КС2С1 = ∠КА2А1 - різносторонні кути паралельних прямих і січній.
Крім того, А1А2 = С1С2, отже ΔА1КА2 = ΔС1КС2 (за стороною і двом прилеглим кутам).
Із рівності трикутників:
С2К = А2К = 10 см.
Відповідь: 10 см
✔ 7. Площина α паралельна стороні ВС триктуника BCD та перетинає сторони ВD і СD в точках В1 і С1 відповідно. Знайдіть довжину сторони СD, якщо В1С1 = 2 см, ВС = 8 см, СС1 = 3 см.
Так, як α║ВС, то В1С1║ВС.
Тоді ∠DВ1С1 = ∠DВС, ∠DС1В1 = ∠DС2В2 як односторонні при паралельних прямих і січній.
ΔDВС ~ ΔDВ1С1 за двома кутами, тоді DС1/DС = В1С1/ВС, DС = DС1 + С1С,
DС1/(DС1+3) = 2/8, звідки
8DС1 = 2DС1 + 6
6DС1 = 6, DС1 = 1 (см)
Тоді DС = 1 + 3 = 4 (см).
Відповідь: 4 см
✔ 8. Скільки площин можна провести через точки А, В і С, якщо:
1) АВ = 17 мм, ВС = 0,2 дм, АВ = 3 см;
2) АВ = 2 см, ВС = 30 мм, АС = 0,5 дм?
1) Нехай АВ = 17 мм = 1,7 см, ВС = 0,2 дм = 2 см, АС = 3 см.
Так, як
АВ + ВС > АС
АВ + АС > ВС
ВС + АС > АС, то
точки А, В, С утворюють триктуник, тобто не лежать на одній прямій.
Через 3 точки, що не лежать на одній прямій можна провести площину і лише одну.
2) Нехай АВ = 2 см, ВС = 30 мм = 3 см, АС = 0,5 дм = 5 см, тоді АС = АВ + ВС.
Отже, точки А, В, С лежать на одній прямій.
Візьмемо т. D ∉ АС, через т. D і АС проведемо площину α.
В силу того, що т. D - будь - яка точка простору, маємо що існує
безліч площин, які проходять через т. А, В, С.
Відповідь: 1) одну; 2) безліч.