ТКР-3 гдз математика (геометрія) 10 клас Істер 2018

✔ 1. Двогранний кут дорівнює третині прямого кута. Чому дорівнює лінійний кут цього двогранного кута?


Прямий кут 90°, тоді двогранний кут, а відновідно і лінійний кут цього кута 30°.
Відповідь: Г



✔ 2. ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямокутний паралелепіпед, АВ = а, ВС = b, ВВ₁ = с. Знайдіть відстань між площинами АВС і А₁В₁С₁?

Відстань між площинами є довжина перпендикуляра, тому це відстань ВВ₁ = с.
Відповідь: В



✔ 3. Похила утворює з площиною кут 45°. Знайдіть цю похилу, якщо проекція похило дорівнює 6 см.



АС - перпендикуляр, АВ - похила, ВС - проекція
АВ = ВС/(cos∠АВС)
АВ = 6/cos45° = 6/(√2/2) = 12/√2 = 6√2.
Відповідь: Б



✔ 4. Двогранний кут дорівнює 60°. На одній з граней дано точку, яка розташована на відстані 8√3 см від ребра двогранного кута. Яка відстань від цієї точки до другої грані двогранного кута.



Нехай т. А належить одній з граней двогранного кута з ребром А,
АВ = 8√3 см - відстань від т. А до ребра а, АС - відстань від т. А до другої грані кута.
ΔАВС - прямокутний, ∠АСВ = 90°, ∠АВС = 60° - лінійний кут двогранного кута.
АС = АВ • sin∠АВС
АС = 8√3sin60° = 8√3 • √3/2 = 12 (см).
Відповідь: 12 см



✔ 5. Відрізок АВ не перетинає площину α. Точка А віддалена на 12 см від площини α, а середина відрізка АВ віддалена від площини альфа на 8 см. На якій відстані від площини α розміщена точка В?



Нехай М - середина АВ, АА₁, ВВ₁, ММ₁ - відстані від точок А, В, М до α.
Тоді АА1 ┴ α, ВВ1 ┴ α, ММ1 ┴ α, за властивістю перпендикулярності прямих і площин АА₁║ВВ₁║ММ₁.
Отже, АА₁В₁В - трапеція, ММ₁ - її середня лінія.
ММ₁ = 1/2(АА₁ + ВВ₁)
ВВ₁ = 2ММ₁ - АА₁
ВВ₁ = 2 • 8 - 12 = 16 - 12 = 4 (см).
Відповідь: 4 см



✔ 6. Пряма ВМ перпендикулярна до прямих ВА і ВС, що містять сторони прямокутника АВСD. Знайдіть кут між прямими ВМ і CD.



ВМ і CD - мимобіжні, СD ∩ АВ, АВ ∩ ВМ = М,
тоді кут між прямими ВМ і СD
дорівнює куту між АВ і ВМ, тобто ∠АВМ = 90°.
Відповідь: 90°



✔ 7. Точка К віддалена від кожної з прямих, що містять сторони квадрата, на 10 см, а від площини квадрата - на 8 см. Знайдіть площу квдарата.



Нехай ABCD - квадрат, КО = 8 см - відстань від т. К до площини квадрата,
KD = KE = KF = KL = 10 - відстань від т. К до сторін ABCD.
Із ΔKOD, ∠KOD = 90°
ОD = √КD²-ОD² = √10²-8² = 6 (см)
Тоді АD = 2 • ОD = 2 • 6 = 12 (см) - сторона квадрата.
S_ABCD = АD², S_АВСD = 12² = 144 (см²).
Відповідь: 144 см²



✔ 8. Два рівнобедрених трикутники мають спільну основу завдовжки 6 см. Кут між площинами трикутника дорівнює 60°, а їхні площі - 9 см² і 15 см². Знайдіть відстань між вершинами трикутників. Скільки розв'язків має задача?



Нехай ΔABC і ABD - рівнобедрені,
АD = ВD, АС = ВС, S_АВСD = 15 см², S_АВСD = 9 см².
Нехай DО ┴ АВ, СО ┴ АВ, ∠COD = 60° - лінійний кут між площинами трикутників.
S_АВСD = 1/2 СО • АВ
1/2СО • 6 = 9, звідки
СО = 3 (см)
S_АВD = 1/2DO • АВ
1/2 DО • 6 = 15
DО = 5 (см)
Із ΔСОD:
СD² = ОС² + ОD² - 2 • ОС • ОDcos∠СОD
СD² = 9 + 25 - 2 • 3 • 5cos60°
СD² = 34 - 15
СD² = 19
СD = √19
Із ΔОСА (∠АОС = 90°):
АС = √АО²+СО² = √3²+3² = 3√2 (см)
Із ΔАDО (∠АОD = 90°):
АD = √АО²+DО² = √3²+5² = √9+25 = кор34.
1) Відстань від вершин ΔАВС до вершин ΔABD:
АС = ВС = 3√2 (см), CD = √19.
2) Відстань від вершин ΔABD до вершин ΔАВС:
DА = DВ = √34, СD = √19.
Відповідь: 1) 3√2 см, 3√2 см, √19 см або 2) √34 см, √34 см, √19 см.