ТКР-4 гдз математика (геометрія) 10 клас Істер 2018
10 клас ➠ математика ➠ Істер
Тематично - контрольна робота № 4
Варіант 1
✔ 1. Знайдіть довжину відрізка з кінця в точках А(-2; 3; -1) і В (2; 4; -9).
АВ = √(2-(-2))2+(4-3)2+(-9(-1))2 = √16+1+24 = √81 = 9 см
Відповідь: В
✔ 2. Задано вектори с і d. На якому з малюнків зображено суму векторів c + d?
За правилами паралелограма
Відповідь: Г
✔ 3. Знайдіть скалярний добуток векторів a(-3; 4; 2) і m(0; 7; -2).
a • m = -3 • 0 + 4 • 7 + 2 • (-2) = 28 - 4 = 24
Відповідь: А
✔ 4. Точка М - середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки А, якщо М(-2; 3; -1), В(4; 5; 1).
х0 = (х1+х2)/2
у0 = (у1+у2)/2
z0 = (z1+z2)/2
х1 = 2 • х0 - х2 = 2 • (-2) - 4 = -8
у1 = 2у0 - у2 = 2 • 3 - 5 = 1
z1 = 2z0 - z2 = 2 • (-1) - 1 = -3
Відповідь: (-8; 1; -3)
✔ 5. Задано вектори k(2; 0; -1) і t(4; 6; -2). Знайдіть координати вектора:
k(2; 0; -1), t(4; 6; -2)
1) 2k - t = 2(2; 0; -1) - (4; 6; -2) = (4; 0; -2) - (4; 6; -2) = (0; -6; 0);
2) 3k + 1/2t = 3(2; 0; -1) + 1/2(4; 6; -2) = (6; 0; -3) + (2; 3; -1) = (8; 3; -4).
Відповідь: 1) (0; -6; 0), 2) (8; 3; -4).
✔ 6. Запишіть координати точок, симетричних точці В(-2; 0; 3) відносно площини: 1) ху; 2) хz.
Відповідь: 1) В1(-2; 0; -3), 2) В2(-2; 0; 3).
✔ 7. На осі ординат знайдіть точку, рівновіддалену від точок А(2; -2; 3) і D(4; 0; 5).
Так, як точка знаходиться на вісі ординат, то її координати М(0; у; 0)
АМ = DM
AM = √4(у+2)2+9 = √13+(у+2)2
DM = √16+у2+25 = √41+у2
√13(у+2)2 = √41+у2
13 + (у + 2)2 = 41 + у2
у2 + 4у + 4 + 13 - у2 - 41 = 0
4у = 24
у = 6
М(0; 6; 0).
Відповідь: (0; 6; 0)
✔ 8. Знайдіть кут між веторами a(4; 0; -4) і b(1; 1; 0).
cosγ = (a•b)/(|a|•|b|), де γ - кут між a і b
cosγ = (4•1+0•1+(-4)•0)/(√16+16 • √1+1)
cosγ = 4/(4√2•√2)
cosγ = 1/2
γ = 60°
Відповідь: 60°
✔ 9. Доведіть за допомогою веторів, що чотирикутники KLMN є трапецією, якщо K(5; 7; -2), L(5; 2; 3), M(-3; -2; -1), N(-1; 4; -5).
Знайдемо координати векторів:
KL = (5 - 5; 2 - 7; 3 + 2) = (0; -5; 5)
LM = (-3 - 5; -2 - 2; -1 - 3) = (-8; -4; -4)
MN = (-1 + 3; 4 + 2; -5 + 1) = (2; 6; -4)
KN = (-1 - 5; 4 - 7; -5 + 2) = (-6; -3; -3)
Перевіримо умову колінеарності векторів а) KL і MN,
б) LM і KN
а) 0/2 ≠ -5/6 ≠ 5/-4
Так, як умова рівності не виконується, то KL і MN не колінеарні
б) -8/-6 = -4/-3 = -4/-3
4/3 = 4/3 = 4/3
Умова рівності виконується, тому LM і KN колінеарні
Отже, прямі LM║KN, KL не паралельно MN.
Тому KLMN - чотирикутник, в якому дві сторони паралельні
між собою, а інші дві ні, тобто KLMN - трапеція.
АВ = √(2-(-2))2+(4-3)2+(-9(-1))2 = √16+1+24 = √81 = 9 см
Відповідь: В
✔ 2. Задано вектори с і d. На якому з малюнків зображено суму векторів c + d?
За правилами паралелограма
Відповідь: Г
✔ 3. Знайдіть скалярний добуток векторів a(-3; 4; 2) і m(0; 7; -2).
a • m = -3 • 0 + 4 • 7 + 2 • (-2) = 28 - 4 = 24
Відповідь: А
✔ 4. Точка М - середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки А, якщо М(-2; 3; -1), В(4; 5; 1).
х0 = (х1+х2)/2
у0 = (у1+у2)/2
z0 = (z1+z2)/2
х1 = 2 • х0 - х2 = 2 • (-2) - 4 = -8
у1 = 2у0 - у2 = 2 • 3 - 5 = 1
z1 = 2z0 - z2 = 2 • (-1) - 1 = -3
Відповідь: (-8; 1; -3)
✔ 5. Задано вектори k(2; 0; -1) і t(4; 6; -2). Знайдіть координати вектора:
k(2; 0; -1), t(4; 6; -2)
1) 2k - t = 2(2; 0; -1) - (4; 6; -2) = (4; 0; -2) - (4; 6; -2) = (0; -6; 0);
2) 3k + 1/2t = 3(2; 0; -1) + 1/2(4; 6; -2) = (6; 0; -3) + (2; 3; -1) = (8; 3; -4).
Відповідь: 1) (0; -6; 0), 2) (8; 3; -4).
✔ 6. Запишіть координати точок, симетричних точці В(-2; 0; 3) відносно площини: 1) ху; 2) хz.
Відповідь: 1) В1(-2; 0; -3), 2) В2(-2; 0; 3).
✔ 7. На осі ординат знайдіть точку, рівновіддалену від точок А(2; -2; 3) і D(4; 0; 5).
Так, як точка знаходиться на вісі ординат, то її координати М(0; у; 0)
АМ = DM
AM = √4(у+2)2+9 = √13+(у+2)2
DM = √16+у2+25 = √41+у2
√13(у+2)2 = √41+у2
13 + (у + 2)2 = 41 + у2
у2 + 4у + 4 + 13 - у2 - 41 = 0
4у = 24
у = 6
М(0; 6; 0).
Відповідь: (0; 6; 0)
✔ 8. Знайдіть кут між веторами a(4; 0; -4) і b(1; 1; 0).
cosγ = (a•b)/(|a|•|b|), де γ - кут між a і b
cosγ = (4•1+0•1+(-4)•0)/(√16+16 • √1+1)
cosγ = 4/(4√2•√2)
cosγ = 1/2
γ = 60°
Відповідь: 60°
✔ 9. Доведіть за допомогою веторів, що чотирикутники KLMN є трапецією, якщо K(5; 7; -2), L(5; 2; 3), M(-3; -2; -1), N(-1; 4; -5).
Знайдемо координати векторів:
KL = (5 - 5; 2 - 7; 3 + 2) = (0; -5; 5)
LM = (-3 - 5; -2 - 2; -1 - 3) = (-8; -4; -4)
MN = (-1 + 3; 4 + 2; -5 + 1) = (2; 6; -4)
KN = (-1 - 5; 4 - 7; -5 + 2) = (-6; -3; -3)
Перевіримо умову колінеарності векторів а) KL і MN,
б) LM і KN
а) 0/2 ≠ -5/6 ≠ 5/-4
Так, як умова рівності не виконується, то KL і MN не колінеарні
б) -8/-6 = -4/-3 = -4/-3
4/3 = 4/3 = 4/3
Умова рівності виконується, тому LM і KN колінеарні
Отже, прямі LM║KN, KL не паралельно MN.
Тому KLMN - чотирикутник, в якому дві сторони паралельні
між собою, а інші дві ні, тобто KLMN - трапеція.