вправа 13.44 гдз 10 клас математика Істер 2018
Умова:
Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник ABCD з вершинами А(0; 5; 3), B(0; 1; 3), С(5; 1; 7), D(5; 5; 7) є прямокутником.
Відповідь - ГДЗ:
Чотирикутник ABCD - прямокутник,
якщо він паралелограм з рівними діагоналями.
1) Доведемо, що ABCD - паралелограм.
Для цього покажимо, що AB і DC колінеарні і AB і DC.
AB(0; 1-5; 3-3); AB(0; -4; 0)
DC(5-5; 1-5; 7-7)
DC(0; -4; 0)
Так, як АВ і DC мають нульові абсциси
і аплікати, то АВ і DC колінеарні.
АВ і DC мають однакові координати, тому АВ = DC
Отже, АВСD - паралелограм;
2) АС(5; 1-5; 7-3)
АС(5; -4; 4)
BD(5; 5-1; 7-3)
BD(5; 4; 4)
\begin{equation}
\vec{|AC|}=\sqrt{5^{2}+(-4)^{2}+4^{2}}=
\end{equation}
\begin{equation}
=\sqrt{25+16+16}=\sqrt{57}
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{BD}=\sqrt{5^{2}+4^{2}+4^{2}}=
\end{equation}
\begin{equation}
=\sqrt{25+16+16}=\sqrt{57}
\end{equation}
Отже,
\begin{equation}
AC=BD=\sqrt{57}
\end{equation}
Маємо АВСD - паралелограм, у якого
рівні діагоналі, тому АВСD - прямокутник.