гдз 10 клас математика Істер 2018 вправа 18.21
10 клас ➠ математика ➠ Істер
Вправа 18.21
Умова:
За означенням похідної знайдіть значення похідної функції f(x) у точці х0:
1) f(x) = 4/9 - х; х0 = 2; 2) f(x) = √х + 3; х0 = 1.
Відповідь:
1) f(х) = 4/х - х, х0 = 2
f'(х0) = lim (Δf(х0))/Δх
Δx→0
Δf(х0) = f(х0 + Δх) - f(х0)
Δf(2) = f(2 + Δх) - f(2) = 4/(2+Δх) - (2 + Δх) - (4/2 - 2) =
= 4/(2+Δх) - 2 - Δх - 0 = (4-2(2+Δх)-Δх(2+Δх))/(2+Δх) =
(4-4-2Δх-2Δх-тΔх2)/(2+Δх) = (-4Δх-Δх2)/(2+Δх) = (-Δх(4+Δх))/(2+Δх)
f'(2) = lim Δf(2)/Δх = lim (-Δх(4+Δх))/Δх((2+Δх)Δх) =
Δx→0 Δx→0
= lim -(4+Δх)/(2+Δх) = -4/2 = 2;
Умова:
За означенням похідної знайдіть значення похідної функції f(x) у точці х0:
1) f(x) = 4/9 - х; х0 = 2; 2) f(x) = √х + 3; х0 = 1.
Відповідь:
1) f(х) = 4/х - х, х0 = 2
f'(х0) = lim (Δf(х0))/Δх
Δx→0
Δf(х0) = f(х0 + Δх) - f(х0)
Δf(2) = f(2 + Δх) - f(2) = 4/(2+Δх) - (2 + Δх) - (4/2 - 2) =
= 4/(2+Δх) - 2 - Δх - 0 = (4-2(2+Δх)-Δх(2+Δх))/(2+Δх) =
(4-4-2Δх-2Δх-тΔх2)/(2+Δх) = (-4Δх-Δх2)/(2+Δх) = (-Δх(4+Δх))/(2+Δх)
f'(2) = lim Δf(2)/Δх = lim (-Δх(4+Δх))/Δх((2+Δх)Δх) =
Δx→0 Δx→0
= lim -(4+Δх)/(2+Δх) = -4/2 = 2;
Δx→0
2) f(х) = √х + 3, х0 = 1
f'(х0) = lim (Δf(х0))/Δх
Δx→0
Δf(х0) = f(х0 + Δх) - f(х0)
Δf(1) = f(1 + Δх) - f(1) = √1 + Δх + 3 - √1 + 3 = √4 + Δх - √4 = √4 + Δх - 2
f'(1) = lim Δf(1)/Δх = lim (√4+Δх-2)/Δх =
Δx→0 Δx→0
= lim ((√4+Δх-2)(√4+Δх+2))/((Δх(√4+Δх+2)) =
Δx→0
= lim (4+Δх-4)/((Δх(√4+Δх+2)) = lim Δх/((Δх(√4+Δх+2)) =
Δx→0 Δx→0
= lim 1/(√4+Δх+2) = 1/(√4+2) = 1/4.
Δx→0
2) f(х) = √х + 3, х0 = 1
f'(х0) = lim (Δf(х0))/Δх
Δx→0
Δf(х0) = f(х0 + Δх) - f(х0)
Δf(1) = f(1 + Δх) - f(1) = √1 + Δх + 3 - √1 + 3 = √4 + Δх - √4 = √4 + Δх - 2
f'(1) = lim Δf(1)/Δх = lim (√4+Δх-2)/Δх =
Δx→0 Δx→0
= lim ((√4+Δх-2)(√4+Δх+2))/((Δх(√4+Δх+2)) =
Δx→0
= lim (4+Δх-4)/((Δх(√4+Δх+2)) = lim Δх/((Δх(√4+Δх+2)) =
Δx→0 Δx→0
= lim 1/(√4+Δх+2) = 1/(√4+2) = 1/4.
Δx→0
