гдз 10 клас математика Істер 2018 вправа 21.20
10 клас ➠ математика ➠ Істер
Вправа 21.20
Умова:
Знайдіть проміжки зростання та проміжки спадання функції:
1) р(х) = (1-2х)/(3х+1);
2) f(x) = (x2-3x)/(4-x);
3) φ(х) = (х - 3)√х;
4) g(x) = sinx - √3/2х.
Відповідь:
1) р(х) = (1-2х)/(3х+1), Д(р): 3х + 1 ≠ 0; х ≠ -1/3
р '(х) = ((1-2х)'(3х+1)-(3х+1)'(1-2х))/(3х+1)2 = (-2(3х+1)-3(1-2х))/(3х+1)2 =
= (-6х-2-3+6х)/(3х+1)2 = -5/(3х+1)2 < 0
р '(х) ≠ 0, р'(х) < 0, значить р(х) ↓ на R;
2) f(x) = (x2-3x)/(4-x), Д(f): х ≠ 4
f '(x) = ((x2-3x')(4-x)-(4-x)'(x2-3x))/(4-x)2 = ((2x-3)(4-x)+(x2-3x))/(4-x2) =
= (8x-2x2-12+3x+x2-3x)/(4-x2) = (-x2+8x-12)/(4-x2)
f '(x) = 0: (-x2+8x-12)/(4-x2) = 0, х ≠ 4
-х2 + 8х - 12 = 0
х2 - 8х + 12 = 0
х1 + х2 = 8 х1 = 6
{
х1 • х2 = 12 х2 = 2
малюнок дивись нижче
f(x) ↑ х є (2; 4) U (4; 6)
f(x) ↓ х є (-∞; 2) U (6; +∞);
3) φ(х) = (х - 3)√х, Д(φ): х > 0
φ '(х) = (х - 3)'√х + (х - 3)√х' = √х + (х-3)/2√х =
= (2√х•√х+х-3)/2√х = (2х+х-3)/2√х = (3х-3)/2√х = (3(х-1)/2√х
φ '(х) = 0: (3(х-1)/2√х = 0, х > 0
х - 1 = 0
х = 1
малюнок нижче
φ '(х) ↑ х є (1; +∞)
φ '(х) ↓ х є (0; 1);
4) g(x) = sinx - √3/2х
g '(x) = cosx - √3/2
g '(x) = 0: cosx - √3/2 = 0
cosx = √3/2
х = +-arccos√3/2 + πn, n є Z
х = +-π/6 + 2πn, n є Z - критична точка
g'(x) > 0: cosx - √3/2 > 0
cosx > √3/2
малюнок нижче
х є (-π/6 + 2πn), n є Z
g(x) ↑ х є (-π/6 + 2πn; π/6 + πn), n є Z
g(x) ↓ х є (π/6 + 2πn; 11π/6 + 2πn), n є Z.
Умова:
Знайдіть проміжки зростання та проміжки спадання функції:
1) р(х) = (1-2х)/(3х+1);
2) f(x) = (x2-3x)/(4-x);
3) φ(х) = (х - 3)√х;
4) g(x) = sinx - √3/2х.
Відповідь:
1) р(х) = (1-2х)/(3х+1), Д(р): 3х + 1 ≠ 0; х ≠ -1/3
р '(х) = ((1-2х)'(3х+1)-(3х+1)'(1-2х))/(3х+1)2 = (-2(3х+1)-3(1-2х))/(3х+1)2 =
= (-6х-2-3+6х)/(3х+1)2 = -5/(3х+1)2 < 0
р '(х) ≠ 0, р'(х) < 0, значить р(х) ↓ на R;
2) f(x) = (x2-3x)/(4-x), Д(f): х ≠ 4
f '(x) = ((x2-3x')(4-x)-(4-x)'(x2-3x))/(4-x)2 = ((2x-3)(4-x)+(x2-3x))/(4-x2) =
= (8x-2x2-12+3x+x2-3x)/(4-x2) = (-x2+8x-12)/(4-x2)
f '(x) = 0: (-x2+8x-12)/(4-x2) = 0, х ≠ 4
-х2 + 8х - 12 = 0
х2 - 8х + 12 = 0
х1 + х2 = 8 х1 = 6
{
х1 • х2 = 12 х2 = 2
малюнок дивись нижче
f(x) ↑ х є (2; 4) U (4; 6)
f(x) ↓ х є (-∞; 2) U (6; +∞);
3) φ(х) = (х - 3)√х, Д(φ): х > 0
φ '(х) = (х - 3)'√х + (х - 3)√х' = √х + (х-3)/2√х =
= (2√х•√х+х-3)/2√х = (2х+х-3)/2√х = (3х-3)/2√х = (3(х-1)/2√х
φ '(х) = 0: (3(х-1)/2√х = 0, х > 0
х - 1 = 0
х = 1
малюнок нижче
φ '(х) ↑ х є (1; +∞)
φ '(х) ↓ х є (0; 1);
4) g(x) = sinx - √3/2х
g '(x) = cosx - √3/2
g '(x) = 0: cosx - √3/2 = 0
cosx = √3/2
х = +-arccos√3/2 + πn, n є Z
х = +-π/6 + 2πn, n є Z - критична точка
g'(x) > 0: cosx - √3/2 > 0
cosx > √3/2
малюнок нижче
х є (-π/6 + 2πn), n є Z
g(x) ↑ х є (-π/6 + 2πn; π/6 + πn), n є Z
g(x) ↓ х є (π/6 + 2πn; 11π/6 + 2πn), n є Z.
