гдз 10 клас математика Істер 2018 вправа 22.11

Вправа 22.11


Умова:

Знайдіть точки максимуму і точки мінімуму функції:
1) f(x) = (3x+1)/(x-1);
2) g(x) = х/9 + 9/х;
3) t(х) = 2х/(х²+1);
4) φ(x) = 4√х - х.


Відповідь:

1) f(x) = (3x+1)/(x-1), Д(f): х ≠ 1
f '(x) = ((3x+1)'(x-1)-(x-1)'(3x+1))/(x-1)² =
= (3(x-1)-1•(3x+1))/(x-1)² = (3x-3-3x-1)/(x-1)² = -4/(x-1)²
f '(x) = 0: -4/(x-1)² = 0 - коренев немає
f '(x) не існує в точці х = 1 не належить Д(f)
Функція не має критичних точок;

2) g(x) = х/9 + 9/х, Д(g): х ≠ 0
g '(х) = 1/9 - 9/х² = (х²-81)/9х²
g '(х) = 0: (х²-81)/9х² = 0, х ≠ 0
                х² - 81 = 0
                (х - 9)(х + 9) = 0
                х = 9; х = -9
малюнок дивись нижче
g_min = g(9) = 9/9 + 9/9 = 2
g_max = g(-9) = -9/9 + 9/-9 = -2;

3) t(х) = 2х/(х²+1), Д(t) = R
t '(х) = ((2х)'•(х²+1)-(х²-1)'•2х)/(х²+1)² = (2(х²+1)-2х•2х)/(х²+1)² =
= (2х²+2-4х²)/(х²+1)² = (2-2х²)/(х²-1)²
t ' = 0: (2-2х)²/(х²+1)² = 0
           2 - 2х² = 0
           1 - х² = 0
           (1 - х)(1 + х) = 0
           х = 1; х = -1
t_min = t(-1) = (2•(-1))/((-1)²+1) = -2/2 = -1
t_max = t(1) = (2•1)/(1²+1) = 2/2 = 1;

4) φ(x) = 4√х - х, Д(φ): х > 0
φ '(х) = 4/2√х - 1 = 2/√х - 1 = (2-√х)/√х
φ '(х) = 0: (2-√х)/√х = 0, х > 0
                2 - √х = 0
               √х = 2
                х = 4
малюнок нижче
φ_max = φ(4) = 4√4 - 4 = 4.