гдз 10 клас математика Істер 2018 вправа 22.12

Вправа 22.12
Умова: Знайдіть точки мінімуму і точки максимуму функції:
1) f(х) = 2х/(х+2);
2) φ(х) = х/9 + 4/х;
3) ψ(х) = х/(х²+4);
4) р(х) = х - 2√х.
Відповідь:

1) f(х) = 2х/(х+2), Д(f): х ≠ -2
f(х) = ((2х)'(х+2)-(х+2)'•2х)/(х+2)² =
= (2(х+2)-2х)/(х+2)² = (2х+4-2х)/(х+2)² = 4/(х+2)²
f '(х) = 0: 4/(х+2)² = 0, х ≠ -2 розв'язків немає.
Функція не має критичних точок; 2) φ(х) = х/9 + 4/х, Д(φ): х ≠ 0
φ '(х) = 1/9 - 4/х² = (х²-36)/х²
φ '(х) = 0: (х²-36)/х² = 0, х ≠ 0
                х² - 36 = 0
                х = 6; х = -6
малюнок дивись нижче
φ_min = φ(6) = 6/9 + 4/6 = 2/3 + 2/3 + 2/3 = 4/3 = 1 1/3
φ_max = φ(-6) = -6/9 - 4/6 = -2/3 - 2/3 = -4/3 = -1 1/3; 3) ψ(х) = х/(х²+4), Д(ψ) = R
ψ '(х) = (х'(х²+4)-(х²+4)'•х)/(х²+4)² = (х²+4-2х•х)/(х²+4)² = (4-х²)/(х²+4)²
ψ '(х) = 0: (4-х²)/(х²+4)² = 0
                4 - х² = 0
                х = 2; х = -2
малюнок нижче
ψ_min = ψ(-2) = -2/((-2)²+4) = -2/8 = -1/4
ψ_max = ψ(2) = 2/(2²+4) = 1/4; 4) р(х) = х - 2√х, Д(р): х > 0
р '(х) = 1 - 2/2√х = 1 - 1/√х = (√х-1)/√х
р '(х) = 0: (√х-1)/√х = 0, х > 0
                √х - 1 = 0
                √х = 1
                 х = 1
малюнок нижче
р_min = р(1) = 1 - 2√1 = -1.