гдз 10 клас математика Істер 2018 вправа 22.13

Вправа 22.13


Умова:

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції:
1) f(х) = х²(х - 4)²;
2) g(х) = -1/(х²-4х+5);
3) t(x) = (x²-1)(x²-4);
4) ψ(х) = (х+2)/(х²-9).


Відповідь:

1) f(х) = х²(х - 4)², Д(f) = R
f '(х) = (х²)'(х - 4)² + ((х - 4)²)' • х2 = 2х(х - 4)² + 2(х - 4)² + 2(х - 4) • 1 • х² =
= 2х(х² - 8х + 16) + 2х³ - 8х² = 2х³ - 16х² + 32х + 2х³ - 8х² = 4х³ - 24х² + 32х.
f '(х) = 0:  4х³ - 24х² + 32х = 0    | : 4
                х³ - 6х² + 8х = 0
                х(х² - 6х + 8) = 0
                х = 0, х² - 6х + 8 = 0
                х₁ + х₂ = 6, х₁ = 4
              {
                х₁ • х₂ = 8, х₂ = 2
малюнок дивись нижче
f_min = f(0) = 0²(0 - 4)² = 0
f_min = f(4) = 4²(4 - 4)² = 0
f_max = f(2) = 2²(2 - 4)² = 16;

2) g(х) = 1/(х²-4х+5), Д(g): х² - 4х + 15 ≠ 0
Д = 16 - 20 = -4
g '(х) = -(1'(х²-4х+5)-(х²-4х+5)'•1)/(х²-4х+5)² =
= -(2х-4)/(х²-4х+5)² = (2х-4)/(х²-4х+5)²
g '(х) = 0: (2х-4)/(х²-4х+5)² = 0
                2х - 4 = 0
                х = 2
малюнок нижче
g_min = g(2) = -1/(2²-4•2+5) = -1;

3) t(x) = (x²-1)(x²-4), Д(t): х ≠ 2; х ≠ -2
t '(х) = ((х²-1)'(х²-4)-(х²-4)'(х²-1))/(х²-4)² = (2х(х²-4)-2х(х²-1))/(х²-4)² =
= (2х³-8х-2х³+2х)/(х²-4)² = -6х/(х²-4)²
t '(х) = 0: 6х/(х²-4)² = 0, х ≠ ±2
              -6х = 0
               х = 0
малюнок нижче
t_max = t(0) = (0²-1)/(0²-4) = 1/4;

4) ψ(х) = (х+2)/(х²-9), Д(ψ): х ≠ ±3
ψ '(х) = ((х+2)'(х²-9)-(х²-9)'(х+2))/(х²-9)² = (х²-9-2х(х+2))/(х²-9)² =
= (х²-9-2х²-4х)/(х²-9)² = (-х²-4х-9)/(х²-9)²
ψ '(х) = 0: (-х²-4х-9)/(х²-9)² = 0, х ≠ ±3
                -х² - 4х - 9 = 0
                 х² + 4х + 9 = 0
                 Д = 16 - 36 = -20 < 0 коренів немає
Функція екстремуму не має.