гдз 10 клас математика Істер 2018 вправа 22.9

 
Вправа 22.9


Умова:

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції:
1) у = х3 - 6х2 - 15х + 3;
2) у = 1 + 18х + 15х2 - 4х3;
3) у = х - 3х3;
4) у = 1/4х4 - 2х2.


Відповідь:

1) y = x3 - 6x2 - 15x + 3, Д(y) = R
у ' = 3х2 - 12х - 15
у ' = 0: 3х2 - 12х - 15 = 0
           х2 - 4х - 5 = 0
           х1 + х2 = 4    х1 = 5
         {
           х1 • х2 = -5    х2 = -1
малюнок дивись нижче
уmax = у(-1) = (-1)3 - 6 • (-1)2 - 15 • (-1) + 3 = 11
ymin = у(5) = 53 - 6 • 52 - 15 • 5 + 3 = -97;

2) у = 1 + 18х + 15х2 - 4х3, Д(у) = R
у ' = 18 + 30х - 12х2
у ' = 0: 18 + 30х - 12х2 = 0
            -12х2 + 30х + 18 = 0
            2х2 - 5х - 3 = 0
Д = в2 - 4ас = 25 - 4 • 2 • (-3) = 49
х = (5±7)/4
х1 = (5+7)/4 = 12/4 = 3
х2 = (5-7)/4 = -2/4 = -1/2
малюнок нижче
уmin = у(-1/2) = 1 + 18 • (-1/2) + 15 • (-1/2)2 - 4 • (-1/2)3 =
= 1 - 9 + 15/4 + 1/2 = -8 + 15/4 + 2/4 = -8 + 17/4
ymax = 1 + 18 • 3 + 15 • 32 - 4 • 33 = 82;

3) у = х - 3х3, Д(у) = R
у ' = 1 - 9х2
у ' = 0: 1 - 9х2 = 0
           (1 - 3х)(1 + 3х) = 0
           1 - 3х = 0; 1 + 3х = 0
           х = 1/3; х = -1/3
малюнок нижче
уmin = у(-1/3) = -1/3 - 3 • (-1/3)3 = -1/3 + 1/9 = -2/9
ymax = у(1/3) = 1/3 - 3 • (1/3)3 = 1/3 - 1/9 = 2/9;

4) у = 1/4х4 - 2х2, Д(у) = R
у' = х3 - 4х
у' = 0: х3 - 4х = 0
          х(х2 - 4) = 0
          х(х - 2)(х + 2) = 0
          х = 0; х = 2; х = -2
малюнок нижче
уmin = у(-2) = 1/4 • (-2)4 - 2 • (-2)2 = 4 - 8 = -4
ymin = у(2) = 1/4 • 24 - 2 • 22 = 4 - 8 = -4
ymax = у(0) = 1/4 • 04 - 2 • 02 = 0.